CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA ABORDAGEM A PARTIR DE PROJETOS INTERDISCIPLINARES Ana Paula Dessoy Lajeado, janeiro de 2015 Ana Paula Dessoy RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA ABORDAGEM A PARTIR DE PROJETOS INTERDISCIPLINARES Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas, do Centro Universitário UNIVATES, como a exigência parcial para obtenção do grau de Mestre em Ensino de Ciências Exatas, na linha de pesquisa Tecnologias, Metodologias e Recursos Didáticos para o Ensino de Ciências e Matemática. Orientadora: Profª. Dra. Maria Madalena Dullius Lajeado, janeiro de 2015 Ana Paula Dessoy RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UMA ABORDAGEM A PARTIR DE PROJETOS INTERDISCIPLINARES A Banca Examinadora abaixo, aprova a Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas, como parte da exigência para obtenção do grau de Mestre em Ensino de Ciências Exatas, na linha de pesquisa Tecnologias, Metodologias e Recursos Didáticos para o Ensino de Ciências e Matemática. Profª. Drª. Maria Madalena Dullius – orientadora Centro Universitário UNIVATES Profº. Dr. Italo Gabriel Neide Centro Universitário UNIVATES Profª. Drª. Silvana Neumann Martins Centro Universitário UNIVATES Profª. Drª. Susana Paula Graça Carreira Universidade do Algarve Lajeado, janeiro de 2015 3 Dedico esta dissertação aos meus grandes exemplos, meu pai Claudir Alvício Dessoy e minha mãe Lucia Mahle Dessoy, pois tudo que conquistei até hoje foi porque vocês estavam ao meu lado me apoiando, incentivando, oferecendo forças para seguir em frente e não desistir nos momentos de angústia e dúvida. Ana Paula Dessoy Janeiro/2015 4 AGRADECIMENTOS Finalizar esta etapa só se tornou possível devido ao apoio de muitas pessoas que de uma ou de outra forma, contribuíram para que eu chegasse até aqui. Aos meus pais Claudir e Lucia, pelo constante incentivo durante esta caminhada, agradeço por sempre estarem do meu lado desejando-me o melhor e pelo imenso amor que sentem por mim. Ao meu irmão Augusto, agradeço pelo seu companheirismo e pelos bons momentos vividos juntos. À minha avó Ivone, agradeço pelas orações e pelos pensamentos positivos que me passou. Ao meu namorado Juliano, ao meu sogro Hari e minha sogra Irene pelo carinho nos momentos de fragilidade, pela compreensão nos momentos difíceis e por festejarem comigo cada etapa vencida. À minha colega e amiga Geovana Luiza Kliemann que me incentivou e sempre esteve ao meu lado. Aos meus amigos que sempre acreditaram em mim e me apoiaram em todas as minhas decisões, que entenderam minha opção pelo estudo, respeitaram a minha ausência em muitos momentos e que sempre incentivaram meu crescimento profissional e pessoal. 5 Aos professores que fizeram parte da minha caminhada escolar e acadêmica e, de maneira especial, à minha orientadora Maria Madalena Dullius, pelo conhecimento compartilhado, incentivo, compreensão e contribuição de suas sugestões na elaboração do projeto até a conclusão desta dissertação. Aos meus alunos das turmas 301 e 302, sujeitos da pesquisa, centro e razão deste estudo, pela colaboração, amizade, dedicação e companheirismo durante a pesquisa, por acreditarem e aderirem à proposta e pela disposição em realizar as atividades propostas. À CAPES e à UNIVATES, pela oportunidade e apoio financeiro. A Deus, pela graça da vida. Por fim, a todos que me apoiaram, confiaram e torceram por mim nesta caminhada. 6 “Se fosse ensinar a uma criança a beleza da música não começaria com partituras, notas e pautas. Ouviríamos juntos as melodias mais gostosas e lhe contaria sobre os instrumentos que fazem a música. Aí, encantada com a beleza da música, ela mesma me pediria que lhe ensinasse o mistério daquelas bolinhas pretas escritas sobre cinco linhas. Porque as bolinhas pretas e as cinco linhas são apenas ferramentas para a produção da beleza musical. A experiência da beleza tem de vir antes.” Rubem Alves 7 RESUMO O presente estudo é decorrência da pesquisa realizada com base em uma intervenção pedagógica desenvolvida com alunos do 3º ano do ensino médio politécnico de uma escola da 3ª Coordenadoria Regional de Educação do Vale do Taquari - RS/Brasil. Ao longo dos encontros buscou-se compreender “Qual a influência de projetos interdisciplinares na resolução e formulação de problemas matemáticos?”. O objetivo central desta pesquisa foi analisar e explorar a formulação e a resolução de problemas matemáticos a partir de projetos interdisciplinares. O referencial teórico segue pressupostos que se apoiam nas ideias de Dante (2010), Polya (1978) e Smolle e Diniz (2001), que discorrem sobre a resolução de problemas. Além destes, foram contempladas as ideias de Fazenda (1994) e Cascino (2000), autores que enfatizam a interdisciplinaridade presente nas aulas para a elaboração da intervenção pedagógica. A metodologia utilizada para atingir os objetivos deste estudo foi de caráter qualitativo. A coleta de dados foi realizada através de diário de campo, dos projetos de pesquisa dos estudantes, de um questionário inicial e final e de filmagens dos treze encontros realizados com os sujeitos da intervenção. Nestes encontros exploramos a formulação e a resolução de problemas, a matemática existente nos temas de pesquisa de cada aluno, a resolução dos problemas formulados pelos mesmos e a socialização das atividades. Fundamentados nas respostas e nos relatos dos alunos envolvidos na pesquisa, foi possível averiguar que a resolução de problemas pode ser explorada através de projetos e de temas interdisciplinares. Os resultados que emergiram através da pesquisa realizada foram analisados, sendo possível verificar que as atividades propostas na intervenção pedagógica contribuíram para a produção de novos conhecimentos. Os alunos se aproximaram da matemática presente em sua realidade a partir de momentos de reflexão e diálogo. Palavras-chave: Resolução de Problemas. Matemática. Interdisciplinaridade. Projetos. 8 ABSTRACT This study is the result of a research conducted by an educational intervention developed with students of the 3rd year of a polytechnic high school of the 3rd Regional Coordination of Education of Vale do Taquari – RS/Brazil. Throughout the meetings, we aimed to understand “What is the influence of interdisciplinary projects in the resolution and formulation of mathematical problems?”. The main aim of this research was to analyze and explore the formulation and solving mathematical problems from interdisciplinary projects. The theoretical reference follows assumptions which are based on Dante’s (2010), Polya’s (1978) and Smolle and Diniz’ (2001) ideas, who talk about problem solving. In addition, we considered Fazenda’s (1994) and Cascino’s (2000) ideas, the authors who emphasize the interdisciplinarity in class for the development of pedagogical intervention. The methodology used to achieve the aims of this study was qualitative. The data survey was obtained from a field diary, from the students’ search projects, an initial and a final questionnaire and from shoots of the thirteen meetings with the subjects of the intervention. In those meetings, the formulation and resolution of problems, the mathematic issue present in each student’s search, the resolution of problems formulated by them and the activities socialization were explored. Based on answers and reports of the students involved in the research, it was possible to verify that the problem solving can be explored through projects and interdisciplinary topics. The results that came from the survey were analyzed, and it was possible to verify that the activities proposed in the pedagogical intervention contributed to the production of new knowledge. Students approached mathematics present in their daily lives through moments of reflection and dialogue. Keywords: Troubleshooting. Mathematics. Interdisciplinarity. Projects. 9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Problema 1 ............................................................................................... 48 Figura 2 – Problema 2 ............................................................................................... 49 Figura 3 – Problema dos ladrilhos ............................................................................. 50 Figura 4 – Problema da gincana ............................................................................... 50 Figura 5 – Problema da escultura ............................................................................. 51 Figura 6 – Problema da garrafa e a rolha .................................................................. 52 Figura 7 – Problema da rã insistente ......................................................................... 52 Figura 8 – Problema da casinha ................................................................................ 52 Figura 9 – Problema dos cinco quadrados ................................................................ 52 Figura 10 – Soluções do problema 1 ......................................................................... 63 Figura 11 – Problema formulado pelo aluno E1 ........................................................ 64 Figura 12 – Problema formulado pelo aluno E2 ........................................................ 65 Figura 13 – Problema formulado pelo aluno E7 ........................................................ 66 Figura 14 – Problema formulado pelo aluno E7 ........................................................ 66 file:///C:/Users/Home/Documents/MESTRADO/FINALLLLL/DISSERTAÇÃO%20ANA%20DESSOY.docx%23_Toc413165957 file:///C:/Users/Home/Documents/MESTRADO/FINALLLLL/DISSERTAÇÃO%20ANA%20DESSOY.docx%23_Toc413165958 file:///C:/Users/Home/Documents/MESTRADO/FINALLLLL/DISSERTAÇÃO%20ANA%20DESSOY.docx%23_Toc413165959 file:///C:/Users/Home/Documents/MESTRADO/FINALLLLL/DISSERTAÇÃO%20ANA%20DESSOY.docx%23_Toc413165960 10 Figura 15 – Problema formulado pelo aluno E8 ........................................................ 67 Figura 16 – Resolução do problema dos ladrilhos do aluno E4 ................................ 68 Figura 17 – Resolução do problema dos ladrilhos do aluno E22 .............................. 68 Figura 18 – Resolução do problema da gincana do aluno E16 ................................. 69 Figura 19 – Resolução do problema da gincana do aluno E14 ................................. 69 Figura 20 – Resolução do problema da escultura do aluno E3 ................................. 69 Figura 21 – Resolução do problema dos cinco quadrados do aluno E2 ................... 71 Figura 22 – Resolução do problema da casinha do aluno E8. .................................. 71 Figura 23 – Problema classificado como A6 ............................................................. 78 Figura 24 – Problema classificado como A5, A6 E A7 .............................................. 79 Figura 25 – Problema classificado como A1 e A11 ................................................... 79 Figura 26 – Problema classificado como A11 ........................................................... 80 11 LISTA DE QUADROS Quadro 1 – Artigos analisados da área de Ensino .................................................... 34 Quadro 2 – Questionário inicial ................................................................................. 48 Quadro 3 – Categorias utilizadas na classificação dos problemas formulados ......... 56 Quadro 4 – Questionário final .................................................................................... 57 Quadro 5 – Profissões escolhidas como tema de pesquisa ...................................... 73 Quadro 6 - Classificação dos 50 problemas formulados pela turma 301 .................. 77 Quadro 7 – Classificação dos 47 problemas formulados pela turma 301 ................. 78 12 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 14 2 ABORDAGEM TEÓRICA ...................................................................................... 19 2.1 A Resolução e Formulação de Problemas Matemáticos .................................. 20 2.2 O ensino politécnico e os projetos interdisciplinares ........................................ 28 2.3 Pesquisas sobre a resolução de problemas, projetos e a interdisciplinaridade33 3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS............................................................... 39 3.1 Caracterização da pesquisa ............................................................................. 39 3.2 Sujeitos e contexto da pesquisa....................................................................... 40 3.3 Procedimentos pedagógicos ............................................................................ 42 3.4 Instrumentos da coleta de dados ..................................................................... 44 4 INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA ............................................................................ 46 4.1 Descrição dos encontros .................................................................................. 47 5 ANÁLISE DOS DADOS ......................................................................................... 58 5.1 Análise do questionário inicial .......................................................................... 58 13 5.2 Intervenção pedagógica e análise .................................................................... 62 5.3 Análise do questionário final ............................................................................ 80 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 85 REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 88 APÊNDICES ............................................................................................................. 93 14 1 INTRODUÇÃO A Matemática há muito tempo é vista como a “matéria mais difícil”, o “terror das disciplinas”, na qual muitos alunos apresentam dificuldades, e ao mesmo tempo é a grande preocupação dos professores no que diz respeito ao rendimento escolar. Isto está refletido nos indicativos que apresentam a preocupante situação em que se encontra a aprendizagem da Matemática. Estes indicativos são reflexos das avaliações externas, entre elas a Prova Brasil, o SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica), o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), o PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) e o ENADE (Exame Nacional de Desempenho de Estudantes), as quais são avaliações para análise, em larga escala e que exibem indicadores da qualidade do ensino oferecido pelo sistema de educação. Muitos desses problemas podem estar relacionados à forma como a Matemática vem sendo trabalhada nas escolas, pois neste contexto esquece-se de aproximá-la e relacioná-la ao cotidiano dos educandos e de utilizar diferentes estratégias para trabalhar os conteúdos matemáticos e desafiar os alunos a estarem constantemente envolvidos durante as aulas. Para o ser humano, a matemática tem grande importância pois, por meio dela, é possível formar cidadãos mais críticos e participativos na comunidade. Dessa forma, a Matemática deve ser vista como uma estratégia para entender e explicar a realidade, para tomar decisões baseadas na interpretação, implica em encarar seu ensino como um modo de possibilitar aos alunos, espaços de discussões e de formulações sobre distintos temas de interesse dos mesmos em relação a suas 15 realidades. No entanto, em muitas situações, ela é vista e debatida como matéria difícil e compreensível para poucos. Acredita-se que essas dificuldades encontradas no ensino e na aprendizagem da Matemática seriam amenizadas se os conteúdos fossem trabalhados de forma contextualizada, introduzindo conhecimentos que surgem das diferentes realidades nas quais os alunos estão inseridos. Por isso, a utilização de resolução e formulação de problemas pode auxiliar na construção de conhecimentos matemáticos, melhorando o raciocínio, a capacidade de formulação e interpretação. Sabendo que a Matemática está integrada à nossa própria vida a todo o momento, seja em um simples cálculo realizado ou quando pagamos algo, enfim, nas mais variadas situações problemas do dia a dia, entende-se que educar não se limita a proporcionar informações aos alunos, mas proporcionar a construção do conhecimento matemático a partir de situações problemas do contexto social em que os alunos estão inseridos, e inclusive a partir de temas de seu interesse. A partir dessas situações, com o objetivo de promover estudos e pesquisas para qualificar a Educação Básica no Brasil, a CAPES/INEP lançou o Edital 038/2010/CAPES/INEP, do Programa Observatório da Educação. Em Lajeado/RS no Centro Universitário Univates, está sendo desenvolvido um projeto, com foco neste edital, intitulado “Relação entre a formação inicial e continuada de professores de Matemática da Educação Básica e as competências e habilidades necessárias para um bom desempenho nas provas de Matemática do SAEB, Prova Brasil, PISA, ENEM e ENADE”. Este projeto está relacionado ao Programa de Mestrado em Ensino de Ciências Exatas, oferecido pelo Centro Universitário UNIVATES. Nos anos de 2011 e 2012, o grupo de bolsistas pesquisadores do Projeto Observatório da Educação1 (do qual a professora pesquisadora é bolsista) realizou estudos referentes às provas de avaliações externas de Matemática, por meio das quais percebeu-se que o foco destas avaliações está na resolução de problemas matemáticos. 1 O projeto Observatório da Educação é desenvolvido no Centro Universitário UNIVATES, com apoio da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), entidade do governo brasileiro voltada para a formação de recursos humanos. 16 Em paralelo às dificuldades mencionadas, o Ensino Médio no Rio Grande do Sul apresenta índices preocupantes, quando consideramos o compromisso com a aprendizagem para todos. Constatamos que o ensino se realiza mediante um currículo fragmentado, uma realidade que exige novas formas de organização do Ensino Médio. A partir disso, houve a necessidade da construção de uma nova proposta político-pedagógica em que o ensino das áreas de conhecimento dialogue com o mundo do trabalho, que interaja com as novas tecnologias, que supere a imobilidade do currículo, a seletividade, a exclusão, e que, priorizando o protagonismo do jovem, construa uma efetiva identidade para o Ensino Médio. Em conformidade com essas questões, o Governo do Estado do Rio Grande do Sul, em 2012, lança a proposta intitulada Ensino Médio Politécnico, buscando a reestruturação do Ensino Médio, na qual os alunos estão envolvidos com projetos de pesquisa, objetivando a interdisciplinaridade, atividades que atendam às necessidades do mundo do trabalho. Essa proposta tem em sua concepção a base na dimensão politécnica, constituindo-se no aprofundamento da articulação das áreas de conhecimentos e suas tecnologias, com os eixos Cultura, Ciência, Tecnologia e Trabalho, na perspectiva de que a apropriação e a construção de conhecimento embasam e promovem a inserção social da cidadania, através de projetos interdisciplinares desenvolvidos pelos estudantes. Diante da proposta de mudança na Educação Estadual do Rio Grande do Sul, de tornar o Ensino Médio das escolas públicas em um ensino envolvido com a pesquisa, formando alunos pesquisadores e autônomos, em que o pressuposto básico da interdisciplinaridade se origina no diálogo das disciplinas, no qual a comunicação é instrumento de interação com o objetivo de desvelar a realidade, surgiu a ideia deste projeto, cujo o tema de pesquisa é “Resolução de Problemas Matemáticos a partir de projetos interdisciplinares com alunos do 3º ano do Ensino Médio Politécnico em uma escola estadual da 3ª Coordenadoria Regional de Educação do Rio Grande do Sul”. Considerando este contexto, desenvolvemos uma investigação a partir da questão de pesquisa: 17 “Qual a influência de projetos interdisciplinares na resolução e formulação de problemas matemáticos?” Frente a essa problemática, traçamos como objetivo geral desta pesquisa: “investigar qual é a influência de projetos interdisciplinares na formulação e resolução de problemas matemáticos”. Especificamente, almejamos:  Analisar, interpretar e resolver situações problemas com alunos do 3º ano do Ensino Médio Politécnico;  Explorar a formulação e a resolução de problemas matemáticos a partir dos temas dos projetos de pesquisa de alunos do 3º ano do Ensino Médio Politécnico, de uma escola do interior do município de Cruzeiro do Sul, pertencente à 3ª Coordenadoria Regional de Educação;  Avaliar a contribuição de projetos interdisciplinares para a obtenção de êxito na formulação e resolução de problemas. No desenvolvimento desta pesquisa, apoiamo-nos na formulação e resolução de problemas matemáticos, tomada como forma de melhorar a qualidade do ensino da Matemática e, mais do que isso, de estimular no aluno capacidades de tomada de decisões, autonomia, criatividade e de resolver situações cotidianas. Para tanto, realizou-se uma intervenção pedagógica com os alunos de duas turmas do 3º ano do Ensino Médio Politécnico de uma escola localizada no interior do município de Cruzeiro do Sul – RS, pertencente à 3ª CRE, na qual foram analisados os temas e os projetos de pesquisa abordados e trabalhados por professores e alunos na disciplina de Seminário Integrado. Em seguida, esses temas foram envolvidos na formulação e resolução de problemas matemáticos, buscando a integração e socialização das questões elaboradas com todos os alunos da turma. A metodologia utilizada para realizar este estudo foi de cunho qualitativo com foco no estudo de caso, visto que investigamos a prática da metodologia da resolução de problemas matemáticos, mediante o uso de teorias, a troca de conhecimentos, a vinculação dos projetos de pesquisa com a Matemática e a influência desses projetos na formulação e resolução de problemas. Os instrumentos 18 utilizados para a coleta de dados foram questionários, fotos, filmagens e um caderno para cada estudante realizar os registros das intervenções. Concretizadas as considerações iniciais, destaca-se que esta dissertação está vinculada à linha de pesquisa Tecnologias, metodologias e recursos didáticos para o ensino de Ciências e Matemática e ao Projeto Observatório da Educação. A mesma é composta por seis capítulos, o capítulo da Introdução, já apresentado, aborda o problema de pesquisa que estimulou a realização deste trabalho e o contexto do problema. Além disso, traz o tema e os objetivos da pesquisa. O segundo capítulo apresenta a Abordagem Teórica, com uma revisão da literatura dividida em três seções. Na primeira seção conceitua-se a resolução e a formulação de problemas matemáticos, na segunda seção traz-se uma reflexão sobre a interdisciplinaridade através de projetos e na terceira seção segue uma pesquisa sobre a resolução de problemas, projetos e a interdisciplinaridade em periódicos classificados como qualis A1 e A2 pela CAPES na área de ensino. O terceiro capítulo, Procedimentos Metodológicos, apresenta as características da pesquisa e explicamos a metodologia usada para desenvolver o estudo, sendo dividido em quatro seções. No quarto capítulo, Intervenção Pedagógica, há o relato dos treze encontros da intervenção pedagógica. No quinto capítulo, Análise e Discussão dos Encontros, realiza-se a análise dos dados que emergiram na pesquisa. No sexto e último capítulo, tecem-se as Considerações Finais deste estudo, destacando as conclusões e implicações da intervenção pedagógica desenvolvida. 19 2 ABORDAGEM TEÓRICA A Matemática está presente em nosso dia a dia, nas nossas atividades diárias e constantes. Na sociedade em que vivemos, na qual a necessidade por trabalhadores mais autônomos, críticos e criativos é visível, a Matemática tem sua contribuição a medida que se utilize de “metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade de enfrentar desafios” (BRASIL, 1998, p. 27). Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN+) (BRASIL, s.d., p. 111) destacam que: Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento. Nesse sentido os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam como objetivos da disciplina de Matemática no Ensino Médio, possibilitar ao aluno (BRASIL, 1999, p. 42): Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizado ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita 20 expressar-se criticamente sobre problemas da matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade; desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão do conceitos matemáticos; expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em matemática; estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo; reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações; promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. Para atender a esses objetivos, a Matemática escolar precisa de uma linguagem que valorize os aspectos do cotidiano dos alunos, sem deixar de ser um instrumento formal de expressão e comunicação para diferentes ciências. Tendo como principais objetivos: desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, projetar, entre outros. Tendo em vista que todas estas capacidades a escola precisa desenvolver em seus alunos é que se atribui tanto valor à Matemática. Nesta seção proporcionamos a abordagem teórica, que serviu como base para o desenvolvimento da pesquisa, a mesma está apresentada em três subseções: a Resolução de Problemas Matemáticos; a interdisciplinaridade através de projetos e uma análise envolvendo artigos que contemplam a Resolução de Problemas, a Interdisciplinaridade e o trabalho por meio de projetos. 2.1 A Resolução e Formulação de Problemas Matemáticos Não é de hoje que a Matemática é vista como o grande desafio dos alunos, por isso é expressiva a busca em tornar as aulas de Matemática, além de prazerosas, em momentos de reflexão e construção do conhecimento. A resolução 21 de problemas é tema de grandes discussões e preocupações entre educadores. A utilização desta tendência na sala de aula permite ao professor não simplesmente repetir operações de rotina com os alunos, mas aguçar a curiosidade destes na busca de diferentes caminhos para a formulação e solução de problemas, além de auxiliá-los com perguntas desafiadoras que os direcionem para seus objetivos, tornando-os reflexivos, criativos e independentes. Segundo Rêgo e Paiva (2009, p. 245), a resolução de problemas é uma metodologia interessante e, quando bem trabalhada, pode tornar-se bastante satisfatória no ensino da Matemática. A importância da Resolução de Problemas vai muito além da Matemática, pois sua prática pode contribuir para o desenvolvimento das potencialidades cognitivas de nossos alunos. Para muitos educadores, um dos principais objetivos da educação deve ser o de preparar o aluno para resolver problemas. Essa competência, em um mundo dinâmico e com o volume de informações que se tem hoje, pode fazer a diferença, seja para atuação no mercado de trabalho como também para o pleno exercício da cidadania. Corroborando com as autoras, a resolução de problemas pode ser trabalhada em qualquer área ou disciplina, pois o ato de resolver problemas é uma atividade que está presente na vida das pessoas e, geralmente, requer o uso de estratégias de resolução. Na Matemática, a aprendizagem dessas estratégias coopera para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos e os ajuda a resolver em outras situações e entender em seu cotidiano. Segundo os PCN’s de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de problemas permite aos alunos movimentar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Os alunos terão oportunidade de expandir seus conhecimentos acerca de conceitos e metodologias matemáticas bem como ampliar a concepção que têm dos problemas, da Matemática, do mundo e aumentar sua autoconfiança e segurança. Os PCN’s (BRASIL, 1998, p. 34) indicam que: Para atender as demandas do trabalho contemporâneo é inegável que a Matemática pode dar uma grande contribuição à medida que explora a resolução de problemas e a construção de estratégias como um caminho para ensinar e aprender Matemática na sala de aula. Também o desenvolvimento da capacidade de investigar, argumentar, comprovar, justificar e o estímulo à criatividade, à iniciativa pessoal e ao trabalho coletivo favorecem o desenvolvimento dessas capacidades. 22 É de extrema importância que os professores compreendam a importância de trabalhar esta metodologia, a fim de desenvolver no aluno a capacidade de resolver situações desafiadoras, a interação, a comunicação e a criticidade. Para Dante (1998), um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve:  ser desafiador para o aluno;  ser real;  ser interessante;  ser o elemento de um problema realmente desconhecido;  não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas;  ter um nível adequado de dificuldade. Um problema matemático é aquele que apresenta um desafio para o aluno e que assim requer meios de validação e aprovação dos resultados obtidos. É importante frisar que uma situação pode ser simples para um aluno, mas não para outros, tornando-se assim, um desafio resolvê-lo e, portanto, uma situação problema. Com referência a este estudo, os PCN’s (BRASIL, 1997, p. 33) trazem o que aqui identificamos como sendo um método de resolução de problemas: Resolver um problema pressupõe que o aluno: - elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); - compare seus resultados com os de outros alunos; - valide seus procedimentos. Por isso, concordamos com Dante (1991, p. 11), quando afirma que: Um dos principais objetivos do ensino da matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das metas fundamentais de matemática no 1º grau. 23 A Matriz de Referência do SAEB e da Prova Brasil, avaliações que fornecem indicadores a respeito da qualidade da educação brasileira, estruturadas com foco em resolução de problemas, também destaca que “o conhecimento matemático ganha significado, quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução” (BRASIL, 2008, p. 106). Estes sistemas avaliativos têm causado preocupação por parte de professores e sociedade escolar, pois os indicadores apresentados pelos meios de comunicação apontam para a fragilidade do ensino de Matemática em nossas escolas. Na visão do filósofo e matemático húngaro, George Polya (1978), os problemas matemáticos apresentam uma forma interpretativa singular. Com esta ideia, ele ainda é visto como uma referência no assunto. Para o autor, a resolução de problemas requer habilidades com as quais, por meio da prática, se adquire conhecimentos específicos, que fazem o sujeito encontrar solução para todo e qualquer problema ao qual se dedique a resolver. De acordo com os PCN's (BRASIL, 1998, p. 41): Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. Nesse sentido, a habilidade priorizada é a descoberta, por meio da qual o sujeito primeiramente percebe o problema de maneira inacabada e rebuscada, para que, no decorrer do tempo, ocorram transformações em sua percepção; mostra-se, assim, que mudanças vão ocorrendo no processo. Polya (1978, p. 2) enfatiza que o professor deve centrar-se em dois objetivos diante de seus alunos: primeiramente, “[...] auxiliá-los a resolver o problema que lhe é apresentado”, e secundariamente, “[...] desenvolver no estudante a capacidade de resolver futuros problemas por si próprio”. Dessa forma, o autor ressalta que para alcançar tais objetivos, algumas etapas podem ser seguidas. Para o autor, ao resolvermos um problema precisamos:  entender o problema;  traçar uma estratégia de resolução, um plano;  executar esse plano; 24  verificar a solução encontrada, revisar. A primeira etapa é a compreensão do problema. Posteriormente, o estabelecimento de um plano com algumas definições, como quais cálculos poderão ser utilizados para auxiliar no processo de resolução. A terceira etapa apontada por Polya (1978) é a execução do plano, o qual requer, além de ideias para a resolução adequada, “hábitos mentais e concentração no objetivo” (p. 8). Finalizando, o autor ressalta a importância do retrospecto, pois considera que, alcançando o resultado esperado, o aluno tenha a capacidade de rever o trajeto percorrido, revisando e consolidando seus conhecimentos e habilidades para resolver problemas. Assim, pode-se dizer que o autor acredita que a resolução de problemas oportuniza ao aluno criar, descobrir, investigar, conjecturar e, posteriormente, resolver o problema, tornando-se autônomo, crítico e agente ativo na construção dos seus saberes. Para Dante (1989, p. 10), um problema matemático “[...] é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.” Para Onuchic (1999, p.215), “Problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”. Conforme Lester (1982, apud Dante, 2010, p. 12), “problema é uma situação que o indivíduo ou grupo quer ou precisa resolver e para qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução”. Portanto, podemos definir problema como sendo uma situação que exige reflexão, interpretação, conhecimentos básicos e que atente a curiosidade em quem se depara com o mesmo, para assim resolvê-lo. Percebe-se, assim, que há a necessidade de o professor dialogar com seus alunos, pois os caminhos a serem percorridos estão voltados diretamente aos conhecimentos, e o professor passa a ser o mediador com relação a questionamentos. Para tanto, há possibilidades para atividades interdisciplinares que podem fazer parte do processo, já que, para solucionar problemas de diversas áreas educacionais, utilizam-se conhecimentos matemáticos. A resolução de problemas exige que o aluno utilize um conjunto de métodos e estratégias de ações, ou seja, é necessário que haja conversação de conhecimentos, na qual as “operações mentais” e “uma linha de raciocínio” (BRASIL, 2007, p. 38) sejam seguidas para que no final se obtenha um resultado 25 expressivo. Os documentos curriculares do ENEM (2008) salientam que é por meio da seleção, organização, relação e interpretação que se torna possível uma tomada de decisão. Tomar uma decisão implica fazer um recorte significativo de uma realidade, às vezes, complexa, ou seja, que pode ser analisada de muitos modos e que pode conter fatores concorrentes, no sentido de que nem sempre é possível dar prioridade a todos eles ao mesmo tempo” (ibidem, p. 46). A resolução de problemas consiste em uma estratégia que visa desenvolver as habilidades cognitivas para relação de conhecimentos das diferentes disciplinas trabalhadas e a tomada de decisão em relação a problemas, os quais simulam situações reais a serem enfrentadas. Diferente dessa perspectiva, a resolução de problemas tem de partir da realidade social dos estudantes e visa claramente à reflexão sobre uma realidade a fim de transformá-la. Para Dante (2010), as situações-problema desenvolvem o poder de comunicação do aluno, quando trabalhadas oralmente, valorizam o conhecimento prévio do aluno, uma vez que dão a oportunidade de ele mesmo explorar, organizar e expor seus pensamentos, estabelecendo uma relação entre suas noções informais ou intuitivas e a linguagem abstrata e simbólica da Matemática. O autor enfatiza outros objetivos que a formulação e a resolução de problemas pretendem atingir: fazer o aluno pensar produtivamente, produzir novas e diferentes soluções, inventando, buscando e usando novos métodos, ao passo que o pensamento reprodutivo apenas reproduz a aplicação de métodos já conhecidos. O autor também enfatiza a questão de tornar as aulas de Matemática mais atraentes e desafiadoras, a partir do real deleite de estudar Matemática, o qual está na satisfação que surge quando o aluno, por si só, resolve um problema. Quanto mais difícil, maior a alegria e a satisfação em resolvê-lo. Ainda conforme o autor, é importante munir o aluno com estratégias para resolver problemas diante de várias situações, pois é necessário formar cidadãos “matematicamente alfabetizados”, que saibam como resolver, de modo inteligente e eficaz, seus problemas domésticos, de economia e outros do cotidiano. E, finalmente, Dante sugere liberar a criatividade do aluno por meio da formulação e resolução de problemas que exijam o pensamento produtivo do aluno. 26 A resolução e a formulação de problemas em Matemática estão interligadas com a criatividade. Para a resolução de problemas, a formulação de problemas é uma atividade de importância extrema, pois encorajar os alunos a criar, partilhar e a resolver seus próprios problemas é um contexto de aprendizagem muito rico para o desenvolvimento de sua capacidade de resolver e do seu conhecimento matemático. Segundo Polya (1978), a formulação de problemas faz parte da resolução de problemas, o autor referia que toda atividade de resolução de problemas fica incompleta se não der oportunidades aos alunos de formularem problemas. A partir de práticas didáticas escolares, corroboramos com English (1997) ao afirmar que a formulação de problemas é um importante componente do currículo de Matemática e é considerada uma das principais etapas da atividade matemática. O autor também destaca que a formulação de problemas envolve a geração de novos problemas e questões para explorar uma dada situação, além de envolver a reformulação do problema durante sua resolução, pois esta estratégia favorece aos alunos sobre sua capacidade criativa em Matemática. Ao formular problemas, o aluno desenvolve o raciocínio lógico, a criatividade, o espírito explorador, a organização, a escrita, a leitura, a troca de ideias. Nesse sentido, Chica (2001, p. 152) explica que: Dar oportunidade para que os alunos formulem problemas é uma forma de levá-los a escrever e perceber o que é importante na elaboração e na resolução de uma dada situação; que relação há entre os dados apresentados, a pergunta a ser respondida e a resposta; como articular o texto, os dados e a operação a ser usada. A autora ainda destaca que “[...] ao formularem problemas, os alunos sentem que têm controle sobre o fazer matemática e que podem participar desse fazer, desenvolvendo interesse e confiança diante de situações-problema” (2001, p. 152). English (1997) apresenta três elementos básicos para o desenvolvimento da habilidade de formular problemas: a) Compreensão do problema: habilidade de reconhecer a estrutura subjacente a um problema e perceber que diferentes problemas apresentam estruturas semelhantes. 27 b) Percepção de diferentes problemas: refere-se aos aspectos que despertam ou não a atenção dos estudantes em situações rotineiras ou não. c) Perceber situações matemáticas em diferentes perspectivas: interpretar uma situação matemática em mais de um caminho é particularmente importante para o estudante desenvolver sua capacidade de criar problemas ou de reformulá- los. Para Medeiros e Santos (2007), explorar a formulação de problemas não é uma tarefa comum nas aulas de Matemática. E quando o professor propõe aos seus alunos que formulem problemas, está criando uma nova forma didática, que traz implícita a necessidade de o aluno ser um produtor de textos. Essa é uma metodologia inovadora nas aulas de Matemática, sendo que há poucos trabalhos pautados na produção de textos por meio da formulação de problemas nas aulas de Matemática. Conforme os PCN’s (BRASIL, 1997), questionar a realidade formulando problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação, torna as aulas mais interessantes e atraentes. Segundo os PCN’s A resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (BRASIL, 1998, p. 40). Vemos que é de essencial importância debater e abordar novas metodologias para que o ensino da Matemática se torne cada vez melhor, admitindo que os alunos resolvam problemas, com um raciocínio lógico e coerente, o que não vem ocorrendo neste método de ensino. 28 2.2 O ensino politécnico e os projetos interdisciplinares O Ensino Médio do Rio Grande do Sul, em 2012, passou por uma reestruturação, segundo a Secretaria de Educação (SEDUC). O objetivo dessa reestruturação é contribuir para a criação de “uma consistente identidade ao Ensino Médio” (RIO GRANDE DO SUL, 2011, p. 4) que se dará revertendo o alto índice de evasão e reprovação com qualidade social e apresentando um ensino que dê oportunidades para a construção de projetos de vida pessoais que garantam a inserção social, através de [...] uma mudança estrutural que coloque o Ensino Médio para além da mera continuidade do Ensino Fundamental [...], que contemple a qualificação, a articulação com o mundo do trabalho e práticas produtivas, com responsabilidade e sustentabilidade e com qualidade cidadã (Ibid., p. 4). A proposta almeja a articulação entre as áreas de conhecimento e seus componentes curriculares com as dimensões Ciência, Cultura, Tecnologia e Trabalho. No Ensino Médio Politécnico há também uma parte diversificada, e essa deve estar [...] vinculada a atividades da vida e do mundo do trabalho, que se traduza por uma estreita articulação com as relações do trabalho, com os setores da produção e suas repercussões na construção da cidadania, com vista à transformação social, que se concretiza nos meios de produção voltados a um desenvolvimento econômico, social e ambiental, numa sociedade que garanta qualidade de vida para todos (Ibid., p. 22). Um dos princípios orientadores desta proposta é a interdisciplinaridade, na qual os conceitos de áreas do conhecimento e disciplina são tratados como equivalentes. A interdisciplinaridade se apresenta como um meio, eficaz e eficiente, de articulação entre o estudo da realidade e a produção de conhecimento com vistas à transformação. Sendo que “viabiliza o estudo de temáticas transversalizadas, o qual alia teoria e prática, tendo sua concretude por meio de ações pedagógicas integradoras” (Ibid., p. 19), cujo objetivo é integras as áreas de conhecimento e o mundo do trabalho. Outro princípio orientador que merece destaque é a pesquisa, a qual é “o processo que, integrado ao cotidiano da escola, garante a apropriação adequada da 29 realidade, assim como projeta possibilidades de intervenção. Alia o caráter social ao protagonismo dos sujeitos pesquisadores” (Ibid., p. 20), tornando os alunos mais críticos e reflexivos. A proposta está pautada em espaços planejados, integrados por professores e alunos, que organizam o planejamento, a execução e a avaliação dos projetos, incentivando a cooperação, a solidariedade e o protagonismo do jovem, momentos desenvolvidos durante as aulas da disciplina de Seminário Integrado. Esta disciplina é o eixo articulador e problematizador do currículo como forma de apropriação da realidade, considera a integração e o diálogo entre as áreas de conhecimento e oportuniza que todos se apropriem e compartilhem do processo de construção do conhecimento e aprendizagem. O Seminário Integrado assume características especiais no tocante aos processos de autonomia, liberdade e pesquisa dos alunos, constituindo‐se por essência no exercício da interdisciplinaridade. A interdisciplinaridade, neste contexto, permite um diálogo permanente com outros conhecimentos, é a articulação entre o estudo da realidade e a produção de conhecimento com vistas à transformação do ensino, assim, “a interdisciplinaridade é um processo e, como tal, exige uma atitude que evidencie interesse por conhecer, compromisso com o aluno e ousadia para tentar o novo em técnicas e procedimentos”. (Ibid., p. 20). O pressuposto básico da interdisciplinaridade se origina no diálogo das disciplinas, no qual a comunicação é instrumento de interação com o objetivo de desvelar a realidade. A interdisciplinaridade é um processo e, como tal, exige uma atitude que evidencie interesse por conhecer, compromisso com o aluno e ousadia para tentar o novo em técnicas e procedimentos. (RIO GRANDE DO SUL, 2011, p.18) É indispensável reconhecer a importância da interdisciplinaridade no âmbito escolar, como aspecto relevante na educação e na vida. Eliminar os estereótipos da Matemática vista como disciplina teórica, recuada apenas a cálculos, mostrando que a disciplina referida, tachada como algo chato e cansativo, pode ser transformada em uma matéria rica e prazerosa. Observamos e vivenciamos que, além da realidade escolar, o nosso cotidiano também é interdisciplinar. Quando nos confrontamos com uma situação real, certamente necessitamos de mais de uma disciplina ou saber para resolvê-la. 30 Segundo Rocha Filho et al. (2006), a interdisciplinaridade nos remete a uma percepção diferenciada de mundo, pois um mesmo assunto observado sob diferentes perspectivas, nos permite ampliar a compreensão. A compreensão de universo muitas vezes exige um aumento da nossa capacidade de consciência que, por sua vez implica em interdisciplinaridade. Os autores afirmam que: Na Educação, especialmente, a interdisciplinaridade encontra um de seus principais papéis, e se realiza no trabalho cooperativo de professores de diferentes disciplinas que decidem integrar suas ações educativas (2005, p. 329). De acordo com Fazenda (1994), a interdisciplinaridade pode ser compreendida como um ato de troca, de reciprocidade entre as disciplinas ou as ciências, ou melhor, de áreas do conhecimento. Seria errado pensar a interdisciplinaridade como uma simples intersecção de disciplinas com afinidades. Acordando com Fazenda (1994) e Cascino (2000), confirmamos que há muita riqueza nos diálogos construídos a partir das diferenças, constituídos no respeito às individualidades, em cumplicidades coletivas. A aprendizagem disciplinar oferece ao aluno a possibilidade de reconhecer e compreender as particularidades de um determinado conteúdo, ao passo que o conhecimento integrado, ou seja, interdisciplinar, lhe oferece a possibilidade de estabelecer relações expressivas entre os conhecimentos. Um ensino regulado na prática interdisciplinar almeja formar alunos com uma visão global de mundo, capazes de proferir, religar, contextualizar, situar-se num contexto, além de reunir e globalizar os conhecimentos formados. A interdisciplinaridade é discutida com muita ênfase nos PCN’s (BRASIL, 2000, p. 21), os quais destacam que: [...] a interdisciplinaridade não tem a pretensão de criar novas disciplinas ou saberes, mas de utilizar os conhecimentos de várias para resolver um problema concreto ou compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista. Em suma, a interdisciplinaridade tem uma função instrumental. Trata-se de recorrer a um saber diretamente útil e utilizável para responder às questões e aos problemas sociais contemporâneos. Dialogando com Fazenda (2002), a interdisciplinaridade na educação desenvolve novos saberes por estar conectada com a realidade social, e “a lógica que a interdisciplinaridade imprime é a da invenção, da descoberta, da pesquisa, da 31 produção científica, porém gestada num ato de vontade, num desejo planejado e construído em liberdade” (p. 19). Conforme Fazenda (1994, p. 45) “o professor precisa ser o condutor do processo”. Para isso, é necessário que ele tenha a devida paciência, que enxergue no aluno o que ele mesmo não consegue, nem em si mesmo nem em seus trabalhos. O professor precisa agir com esperteza para ensinar e ao mesmo tempo aprender com os alunos e perceber que cada participante do processo tem sua característica própria. A autora ainda afirma que: A metodologia interdisciplinar parte de uma liberdade científica, alicerça-se no diálogo e na colaboração, funda-se no desejo de inovar, de criar, de ir além e exercita-se na arte de pesquisar – não objetivando apenas uma valorização técnico-produtiva ou material, mas, sobretudo, possibilitando uma ascese humana, na qual se desenvolva a capacidade criativa de transformar a concreta realidade mundana e histórica numa aquisição maior de educação em seu sentido lato, humanizante e libertador do próprio sentido de ser-no-mundo (FAZENDA, 1994, p. 69). O trabalho interdisciplinar pode ser inscrito através da pedagogia de projetos, que é reconhecida pela sua maneira de potencializar a interdisciplinaridade, pois o trabalho com projetos permite romper com as fronteiras disciplinares, favorecendo os elos entre as diferentes áreas de conhecimento numa situação contextualizada do aprender. Nesse sentido, Almeida (2002, p. 58) confirma essas ideias destacando: [...] que o projeto rompe com as fronteiras disciplinares, tornando-as permeáveis na ação de articular diferentes áreas de conhecimento, mobilizadas na investigação de problemáticas e situações da realidade. Isso não significa abandonar as disciplinas, mas integrá-las no desenvolvimento das investigações, aprofundando-as verticalmente em sua própria identidade, ao mesmo tempo, que estabelecem articulações horizontais numa relação de reciprocidade entre elas, a qual tem como pano de fundo a unicidade do conhecimento em construção. Trabalhar com projetos interdisciplinares rompe com os paradigmas da pedagogia tradicional centrada na exposição de conteúdos pelos professores. Esse novo modelo propõe ao docente abandonar o papel de “transmissor de conteúdos” e adote uma postura de pesquisador, de organizador do processo de ensino aprendizagem. E o aluno, por sua vez, passe de receptor passivo a ator do processo. 32 Para Japiassu (1976, p. 74), “A interdisciplinaridade caracteriza-se pela intensidade das trocas entre os especialistas e pelo grau de interação real das disciplinas no interior de um mesmo projeto de pesquisa”. A pedagogia de projetos é vista pelo seu caráter de potencializar a interdisciplinaridade, o que de fato pode advir, pois o trabalho com projetos admite romper com as fronteiras disciplinares, favorecendo os elos entre as diferentes áreas de conhecimento numa circunstância contextualizada da aprendizagem. No entanto, muitas vezes o professor atribui valor para as práticas interdisciplinares e com isso passa a negar qualquer atividade disciplinar. Essa visão está equivocada, pois Fazenda (1994) enfatiza que a interdisciplinaridade se dá sem que haja perda da identidade das disciplinas. A interdisciplinaridade é muito mais que uma simples integração de conteúdos, pois segundo os PCN’s (BRASIL, 2000, p. 76): [...] a interdisciplinaridade não dilui as disciplinas, ao contrário, mantém sua individualidade. Mas integra as disciplinas a partir da compreensão das múltiplas causas ou fatores que intervêm sobre a realidade e trabalha todas as linguagens necessárias para a constituição de conhecimentos, comunicação e negociação de significados e registro sistemático dos resultados. A interdisciplinaridade ocorre na prática, com experimentos reais de trabalhos. Não estamos em busca da fragmentação, mas, sim, da unificação. E a interdisciplinaridade se propõe a trabalhar com esta unificação e integração, pois requer a colaboração entre tudo e todos. Com a interdisciplinaridade surge cada vez mais o desejo pela autonomia, pelo respeito. O aluno, através da interdisciplinaridade, tem todos os elementos e o apoio indispensáveis para alcançar a sua autonomia. Fundamentados nas propostas do sociólogo da educação Perrenoud (Apud, MARTINS, 2007, p. 40) “a meta principal da escola não deve ser o desenvolvimento do aluno pelo ensino de conteúdos disciplinares fragmentados, mas o desenvolvimento das competências pessoais”. Assim, com a aplicação da interdisciplinaridade alcança-se uma maneira de melhorar a formação, fazendo com que os alunos aprendam e consigam atingir uma formação profissional polivalente; um modo de compreender e modificar o mundo, 33 pois estamos na era do conhecimento e é necessário conscientizar o estudante de que ele deve buscar uma aprendizagem constante. Acredita-se que desta forma o aluno adquire a consciência de que deve estar sempre aprendendo e buscando conhecimentos. 2.3 Pesquisas sobre a resolução de problemas, projetos e a interdisciplinaridade Com o intuito de conhecer, analisar e dialogar com outros trabalhos já realizados sobre a temática desenvolvida nesta pesquisa, ou seja, a exploração de problemas matemáticos a partir de projetos interdisciplinares, realizamos uma busca nas edições dos últimos cinco anos (2008 - 2012) de revistas online. Como intento desta etapa, optamos pelos periódicos classificados como qualis A1 e A2 pela CAPES na área de ensino, sendo consideradas as revistas de versão português e espanhol, buscando, nos títulos e palavras-chave dos artigos, os termos ou expressões “projetos”, “interdisciplinaridade” e “resolução de problemas matemáticos”. Nessas condições, angariamos 43 artigos, em 12 periódicos distintos, sendo que, nos demais não nos deparamos com trabalhos que faziam menção às palavras-chave determinadas. Esta revisão bibliográfica se detém sobre os sete artigos apresentados no Quadro 1, que abordam os temas como a resolução de problemas, a interdisciplinaridade e o trabalho com projetos. Nesta etapa, não temos a intenção de apresentar uma revisão bibliográfica completa, mas ter um conceito sobre o que está sendo pesquisado e estudado na área da Educação Matemática acerca da exploração de problemas matemáticos e a interdisciplinaridade. Em nosso ponto de vista, são poucos os trabalhos que abordam a temática, o que nos motiva em explorar o assunto em questão. 34 Quadro 1 – Artigos analisados da área de Ensino Nome da revista Artigos Bolema As diferentes “personalidades” do número racional trabalhadas através da resolução de problemas (ONUCHIC; ALLEVATO, 2008). Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011). Ciência & Educação A formação do professor de matemática e o trabalho com projetos na escola (CATTAI; PENTEADO, 2009) Explorando conteúdos matemáticos a partir de temas ambientais (LEITE; FERREIRA; SCRICH, 2009). Educação em Revista Interdisciplinaridade na escola: subsídios para uma zona de desenvolvimento proximal como espaço simbólico (FRADE; MEIRA, 2012). Investigação em Ensino de Ciências Interdisciplinaridade escolar no ensino médio por meio de trabalho com projetos pedagógicos (BATISTA; LAVAQUI; SALVI, 2008). Revista Electrónica en Educación en Ciencias Atividades didáticas de resolução de problemas e o ensino de conteúdos procedimentais (CLEMENT; TERRAZZAN, 2011). Fonte: Das autoras 2 , 2013. Allevatto e Onuchic (2008) enfatizam que a Matemática através da Resolução de Problemas deve partir do princípio de que a construção do conhecimento pode ser realizada a partir de problemas geradores. Reconhecem que o ensinar Matemática é uma tarefa complexa e não há receitas para fazer isso. Constatam que implementar as aulas de Matemática com o auxílio de problemas, também depende da capacidade criadora e do entusiasmo do professor. As autoras também ressaltam que a metodologia de ensino-aprendizagem- avaliação de Matemática a partir de Resolução de Problemas associa uma compreensão mais atual sobre avaliação, constituindo-a num ensejo de aprender,. Essa avaliação é construída durante a resolução do problema, fazendo parte do ensino e promovendo a aprendizagem. 2 Refere-se a mestranda e a orientadora. 35 Alevatto e Onuchic iniciaram seus estudos sobre a Resolução de Problemas por volta de 1989, e consideram que os problemas são de suma importância para uma compreensão mais eficaz das tendências atuais. As autoras reconhecem que sempre houve muita dificuldade para se ensinar e aprender Matemática, também destacam a importância e a necessidade desta disciplina para se entender o mundo e nele viver. Elas alegam que é necessário criar uma consciência do quê, do como e do porquê da Matemática. Para as autoras, “tal consciência nos faz chegar, entre outras, a duas importantes razões para mudar: (1) para que os cidadãos de amanhã apreciem o papel importante e penetrante da Matemática na cultura em que vivem; (2) para que os indivíduos que têm interesse em Matemática, e talento para ela, sejam expostos à sua verdadeira natureza e extensão”. Já os autores Clement e Terrazzan (2011) apresentam alguns resultados obtidos por meio do estudo sobre práticas didáticas de Resolução de Problemas baseadas em situações-problema, cujos desenvolvimentos, em sala de aula, procuram seguir uma abordagem investigativa. Em seu trabalho enfatizam que apesar de vários professores mencionarem que realizam práticas de resolução de problemas em sala de aula, o que realmente fazem é a resolução de “exercícios”. A partir desta constatação, realizaram um trabalho conjunto com alguns professores visando produzir transformações na forma de apresentação e de resolução dos problemas/exercícios em sala de aula e, ao mesmo tempo, averiguar sobre todo esse procedimento. Segundo os autores, “partimos da ideia de que as atividades de resolução de problemas devem propiciar aos alunos o desenvolvimento de uma aprendizagem que lhes permita não apenas resolver problemas escolares, mas também, problemas cotidianos”. O trabalho foi concretizado em sala de aula, em cinco turmas do Ensino Médio, envolvendo quatro professores, com encontros semanais. Essas atividades se constituíam essencialmente em: (1) produção de atividades didáticas, de diversas naturezas, organizadas em conjuntos chamados Módulos Didáticos (MD); (2) uso destes MD em sala de aula; (3) acompanhamento e avaliação, desenvolvida em coletivo, de todas as ações realizadas. Eles evidenciaram que o ensino partindo de uma abordagem investigativa, fundamentada na resolução de situações-problema, proporcionou aos alunos uma visão coesa das metodologias empregadas nas 36 atividades propostas, além de contribuir para a formação de uma postura autônoma na busca continuada de conhecimentos e aprendizagens. Na busca de encontrar trabalhos pautados na interdisciplinaridade e projetos, destacamos a produção de Batista, Lavaqui e Salvi (2008), na qual apresentam um entrosamento em relação à interdisciplinaridade escolar e ao trabalho com projetos, com o intuito de mostrar que este último se coloca como uma opção em condições de promover uma prática educativa interdisciplinar. Segundo os autores, “buscamos investigar uma forma de implementar a interdisciplinaridade escolar, propondo-a por meio do trabalho com projetos interdisciplinares”. Para os autores, uma articulação interdisciplinar no Ensino de Ciências e de Matemática carece de um trabalho conjugado dos professores - tanto em relação à organização das disciplinas escolares, com seus conteúdos e a sua referente ordenação na estrutura curricular, quanto em relação ao planejamento didático e sua concretização como prática pedagógica. Diante desta situação, os autores propõem um trabalho conjunto entre os professores do Ensino de Ciências e de Matemática visando a estrutura curricular, com o objetivo de analisar a ordem dos conteúdos nestas disciplinas, para assim identificar possíveis alterações que possam facilitar o desenvolvimento das práticas interdisciplinares. O tema do projeto interdisciplinar poderá envolver tanto questões levantadas a partir dos conteúdos estudados nas disciplinas de Ensino de Ciências e de Matemática, como uma investigação exemplificada sobre o funcionamento de um pen drive, por exemplo, quanto situações-problema identificadas na comunidade e que se mostrem pertinentes de serem trabalhadas e pesquisadas por essas disciplinas, como por exemplo, a poluição de um rio. Também é importante citar aqui o trabalho de Frade e Meira (2012), no qual apresentam uma pesquisa interdisciplinar realizada por duas professoras- pesquisadoras, uma de Matemática, a outra de Ciências, de uma mesma turma de alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública de Belo Horizonte. Nesta pesquisa, foi executado um trabalho interdisciplinar entre as duas professoras, na qual se investigou como e sob quais circunstâncias este trabalho poderia animar os alunos a “cruzar as fronteiras” das duas disciplinas. 37 Ferreira, Leite e Scrich (2009) abordam em sua pesquisa a exploração de conteúdos matemáticos a partir de temas ambientais. Para os autores, ao trabalhar com situações reais, os alunos manipulam dados reais e, consequentemente, eles caminham para a construção do conhecimento, para o pensamento crítico e reflexivo. Os autores ressaltam que trabalhar a partir de temas e projetos possibilita a aprendizagem dos conteúdos de Matemática conectados a outras ciências, como possibilidade de um instrumento para a compreensão e possível modificação da realidade, contribuindo para a formação de um indivíduo ético, criativo e crítico, vivendo em sua sociedade de forma participativa e consciente. Cattai e Penteado (2009) apresentam em seu trabalho, os resultados de uma pesquisa que procurou discutir as características da formação inicial e continuada de professoras de Matemática que utilizam trabalhos com projetos na sua prática docente. As autoras destacam que os dados são provenientes de entrevistas realizadas com dez professores de Matemática e que na época possuíam alguma experiência através do trabalho com projetos em suas aulas. Segundo as autoras, os trabalhos com projetos são uma excelente proposta para a formação integral do aluno, e é preciso pensar na maneira de como este tipo de trabalho está sendo integrado na prática docente. O uso de projetos em sala de aula é uma forma de organizar o trabalho pedagógico, diferente do tradicional no qual o professor explica e o aluno faz exercícios. Os resultados encontrados pelas autoras destacam que os professores de Matemática que trabalham com projetos são pessoas atentas a seu desenvolvimento profissional, e preocupadas em oferecer uma educação de qualidade para seus alunos, com uma concepção de educação que vai além da transmissão de informações. A análise dessa pesquisa nos determinou e motivou com mais ênfase para o desenvolvimento desta proposta. Isso deve-se ao fato de o trabalho da resolução de problemas matemáticos ainda ser um desafio para muitos professores, os quais não trabalham e aprofundam essa tendência devido à falta de informação e de troca de 38 ideias que deveriam ser desenvolvidas entre os docentes de forma interdisciplinar ou até mesmo através de temas de projetos de pesquisa realizados pelos alunos. 39 3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Este capítulo está dividido em quatro seções, nas quais apresentamos as ideias que orientaram os caminhos investigativos e os procedimentos metodológicos empregados durante a realização da investigação deste estudo. Sendo assim, descrevemos a caracterização da pesquisa, os sujeitos envolvidos e o contexto da pesquisa, a intervenção pedagógica, os procedimentos e instrumentos utilizados para a coleta de dados. 3.1 Caracterização da pesquisa Atendendo aos objetivos com o desenvolvimento desta pesquisa, o trabalho que estamos propondo, constitui-se em uma investigação de abordagem qualitativa, pois acreditamos na necessidade e na importância de estudar a realidade sob o olhar do sujeito pesquisado, além de termos a visão do pesquisador. Esta pesquisa é, segundo os procedimentos técnicos adotados para o seu desenvolvimento, um estudo de caso, o qual, segundo Yin (2010), é uma investigação empírica, um método que abrange planejamento, técnicas de coleta de dados e análise dos mesmos. Corroborando com André (2005), para quem o desenvolvimento do estudo de caso realiza-se em três fases: a fase exploratória – momento em que o pesquisador 40 entra em contato com a situação a ser investigada pra definir o caso, confirmar ou não as questões iniciais, estabelecer os contatos, localizar os sujeitos e definir os procedimentos e instrumentos de coleta de dados; a fase de coleta dos dados ou de delimitação do estudo e a fase de análise sistemática dos dados, traçadas como linhas gerais para condução desse tipo de pesquisa, podendo ser em algum momento conjugada uma ou mais fase, ou até mesmo sobrepor em outros, variando de acordo com a necessidade e criatividade surgidas no desenrolar da pesquisa. 3.2 Sujeitos e contexto da pesquisa O contexto desta investigação e o desenvolvimento da proposta realizaram-se com duas turmas de 3º ano do Ensino Médio Politécnico, em uma escola estadual do Vale do Taquari, parceira do Programa Observatório da Educação desenvolvido no Centro Universitário UNIVATES. Nesta escola, a autora desta dissertação atua como professora de Matemática nas três turmas do Ensino Médio noturno. A escolha das turmas considerou o fato de serem essas as turmas que iniciaram com a implantação da nova proposta curricular do Ensino Médio Politécnico, que entrou em vigor em 2012, implicando em uma caminhada de dois anos trabalhando com pesquisas e projetos. A intervenção contou com um total de 25 alunos, 13 meninos e 12 meninas, que em sua maioria, residem no meio rural, em localidades próximas à escola, e suas idades variam de 16 a 29 anos. Muitos destes alunos já trabalham em alguma empresa ou até mesmo nos negócios da família. A escola está localizada na zona rural, no município de Cruzeiro do Sul, tem um total de 245 alunos matriculados em 2014, distribuídos em três turnos, manhã, tarde e noite, atende alunos desde o 6º ano do Ensino Fundamental até o 3º ano do Ensino Médio. Nos turnos da manhã, a escola atende as três turmas do ensino médio e uma turma de 8ª série, à tarde tem três turmas de ensino fundamental, 6º, 7º e 8º ano, e à noite as três turmas de ensino médio e duas turmas de Educação de Jovens e Adultos (EJA), nas 41 modalidades T5 e T6, sendo a Totalidade 5 correspondente à 7ª série e a Totalidade 6, à 8ª série do Ensino Fundamental. A proposta da intervenção está apoiada na aprendizagem baseada em formulação e resolução de problemas matemáticos em consonância com os temas dos projetos de pesquisa dos alunos, possibilitando o trabalho através de atividades interdisciplinares. Essas atividades estão apoiadas na nova proposta de ensino implantada em 2012, pelo governo estadual do Rio Grande do Sul, intitulada Ensino Médio Politécnico. Alguns fatores levaram a esta mudança, como o fato do modelo curricular e didático se pautar fundamentalmente na fragmentação e na repetição de conteúdos, de conceitos e saberes, as quais não possibilita ao educando desenvolver naturalmente suas relações e intervenções no mundo do trabalho. Sendo, pois, um padrão escolar que tende a robotizar as mentes, por ser uma fórmula escolar calcada na tradição e reverência às formas pedagógicas já não possíveis no mundo real da escola de acesso democratizado. Além disso, o Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, tem sido o foco permanente de discussões, reflexões e problematizações no âmbito da mídia, dos círculos acadêmicos, das organizações econômicas e em diversos espaços da sociedade. Isso se deve, em grande parte, ao histórico quadro de fracasso escolar que essa etapa da educação formal tem conservado ao longo das últimas décadas. O problema do Ensino Médio, historicamente constatado, é hoje um dos principais desafios para as políticas educacionais, em função das perdas materiais e humanas constatadas pelos baixos resultados alcançados. Desta forma, é lançada a proposta intitulada Ensino Médio Politécnico, considerando a importância de uma formação cidadã que responda pelas necessidades humanas e pelo domínio dos princípios do conhecimento científico e tecnológico de modo a inserir o cidadão no mundo do trabalho que hoje se dá pela flexibilização da produção, pela redução de chefias, além do trabalho coletivo. A proposta basicamente se constitui pela articulação das áreas de conhecimento e suas tecnologias com os eixos: cultura, ciência, tecnologia e trabalho enquanto 42 princípio educativo, o que demanda uma formação interdisciplinar, tendo como ponto de partida o conteúdo social. E assim introduziu-se uma nova disciplina na matriz curricular, chamada de Seminário Integrado, visa trabalhar e envolver os alunos em projetos de pesquisa, buscando desenvolver no aluno seu espírito crítico, investigador, participativo, considerando a relação parte-totalidade, a valorização de saberes reconhecendo que o saber popular se constitui no ponto de partida para a produção do conhecimento científico, a relação entre teoria e prática, a interdisciplinaridade com o propósito de superar a fragmentação do conhecimento e a avaliação emancipatória. A proposta curricular enfatiza “a pesquisa” por ser o “processo que, integrado ao cotidiano da escola, garante a apropriação adequada da realidade, assim como projeta possibilidades de intervenção” (RS/SE, 2011, p. 24). Os encontros da intervenção pedagógica ocorreram nas aulas da disciplina de Seminário Integrado, com o intuito de envolver a interdisciplinaridade presente nos projetos de pesquisa dos alunos com a proposta de formulação e resolução de problemas matemáticos. Esta disciplina tem o envolvimento de quatro professores das quatro áreas distintas do conhecimento, sendo que no 3º ano do Ensino Médio Politécnico há nove períodos semanais distribuídos entre estes professores. O foco é promover alunos mais pesquisadores, críticos, criativos e autônomos. 3.3 Procedimentos pedagógicos A proposta desta investigação é formular problemas matemáticos a partir de um tema, no qual os alunos estejam envolvidos, através de seus projetos de pesquisa e que possam utilizar seus conhecimentos na produção do enunciado da questão. Dessa forma, temos a possibilidade de trabalhar com a interdisciplinaridade, sendo o tema abordado pelos alunos, o foco e o eixo para a formulação de problemas. Aos alunos foram propostas, através dos temas de seus projetos interdisciplinares, a formulação e a resolução de problemas, o que consiste em 43 estimulá-los a desenvolverem a criatividade e a autonomia durante o processo de construção e resolução dos mesmos. Corroborando com as ideias de Smole e Diniz (2001) quando afirmam que propiciar situações nas quais os alunos possam criar seus próprios problemas é uma estratégia que pode ser utilizada para ampliar a compreensão dos alunos sobre a resolução de problemas. De acordo com as autoras, as aulas desenvolvidas a partir da formulação de problemas levam o educando a levantar hipóteses, comunicar ideias e estabelecer relações, desenvolvendo interesse e confiança no seu próprio modo de pensar. A construção do enunciado através da problematização de um tema é um fator relevante durante o processo de formulação do problema, pois implica em organizar e sistematizar dados e informações e registrá-los utilizando a linguagem escrita matemática. Começar pelo enunciado e pela situação que motivou a sua elaboração foram fatores que levam o educando a compreender o problema como um todo e não somente a operação que deverá ser feita e o resultado a ser dado. Ao formular um problema, o educando participa ativamente do processo de desenvolvimento do seu aprendizado, pois foi incentivado a criar uma situação problema a partir de experiências e conhecimentos que já possui, compreendendo, portanto, o porquê e como este problema foi elaborado. Chica (2001, p.152) considera que: Dar oportunidade para que os alunos formulem problemas é uma forma de levá-los a escrever e perceber o que é importante na elaboração e na resolução de uma dada situação; que relação há entre os dados apresentados, a pergunta a ser respondida e a resposta; como articular o texto, os dados e a operação a ser usada. Para Brown e Walters (2005), os problemas podem ser formulados a partir de situações problemas, definições, teoremas, perguntas, objetos. Deve-se observar e analisar a situação apresentada e em seguida problematizá-la, propondo questões investigativas. Os autores acreditam que “a formulação de problemas possui várias fases que enriquecem o entender, o fazer e o aprender matemática.” (BROWN; WALTERS, 2005, p. 27). Como forma de valorizar os problemas elaborados pelos alunos, foi proposta a troca de problemas entre eles, para um resolver o problema do outro; montar uma folha com problemas formulados para resolver durante a semana ou mês; selecionar 44 alguns problemas formulados e fazer correio entre classes da mesma série, criar um livro de problemas da classe para ser impresso para todos e confeccionar um mural com os problemas que ganharam destaque pela opinião da própria turma. Os problemas formulados e resolvidos pelos alunos da turma em questão, envolvidos na intervenção pedagógica, foram arquivados e compuseram o banco de dados do estudo de caso e, sempre que necessário, foram retomados, como por exemplo, para analisar as formas de pensar, o contexto e os temas utilizados pelos alunos na formulação e escrita dos mesmos. Yin (2010) destaca que registros em arquivos podem ser utilizados em diferentes etapas do estudo de caso e constituir- se em relevantes fontes de informação, em conjunto com outras evidências. Para tornar possível a imagem dos encontros a fim de compor o banco de dados da pesquisa e estar à disposição, caso fosse necessário consultá-lo na fase da análise dos dados, conseguiu-se a autorização dos pais dos alunos, concedida através do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), conforme Apêndice A, devido ao fato de serem menores de idade. A presente investigação, ensinar via formulação e resolução de problemas através de projetos interdisciplinares, seguiu as orientações de Polya (1995), para quem o problema seria um elemento disparador de um processo de construção do conhecimento matemático, e de Pozo (1998), em cuja análise a resolução de problemas é vista como um veículo acessível para levar os alunos a aprender a aprender. 3.4 Instrumentos da coleta de dados Durante a realização das atividades referentes ao trabalho desenvolvido, utilizamos algumas maneiras de registrar os encontros, como: - Fotos, vídeos e posterior transcrição dos vídeos de cada encontro, gerando material escrito que foi analisado. Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 201) afirmam que o uso desses instrumentos “[...] permitem registrar, com mais acuidade, eventos 45 importantes que farão parte do material de análise da pesquisa”. Ressaltam que o uso deles altera o curso normal das práticas, tornando-se necessário que se desenvolva, inicialmente, um processo de familiarização dos envolvidos com os equipamentos, o que foi realizado com as turmas da intervenção, uma conversa e demonstração do material que seria utilizado para registrar os encontros. - Questionário individual com cada aluno. Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 117) afirmam que “os questionários podem servir como uma fonte complementar de informações [...] podem ajudar a caracterizar e a descrever os sujeitos da pesquisa”. Foram realizados dois questionários individuais com os alunos, um questionário antes de iniciarmos nossos encontros, para servir de instrumento norteador da nossa intervenção e, outro que foi aplicado no final, como fechamento da pesquisa. - Diário de campo, no qual registramos todos os momentos que foram considerados interessantes, construtivos e marcantes no decorrer da intervenção. Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 118) consideram que o diário de campo como um dos recursos mais ricos utilizados na coleta de informações, “[...] é nele que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios ou retrata diálogos”. Além disso, acrescentam que se for feito imediatamente no ato da observação, maior será a perspicácia da informação. Neste caso, cada aluno recebeu um caderno no qual registraram as atividades desenvolvidas e os problemas formulados. Os dados desta intervenção foram coletados a partir das formulações e resoluções de problemas matemáticos dos alunos, todos relacionados com os temas de pesquisa dos projetos desenvolvidos nas duas turmas do 3º ano do Ensino Médio Politécnico. 46 4 INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA Este capítulo conta com a apresentação do relato dos encontros, destacando as atividades e as práticas desenvolvidas nesta pesquisa. A análise do material encontra-se no capítulo seguinte. A prática pedagógica foi desenvolvida durante quatro meses, de março a julho de 2014, com treze encontros semanais, sendo que cada encontro teve a duração de 90 minutos, equivalentes a dois períodos de aula. A investigação envolveu 25 alunos de duas turmas do 3º ano do Ensino Médio Politécnico, uma do turno da manhã e outra do turno da noite. Nos meses em que estava sendo desenvolvida a intervenção, os alunos estavam envolvidos com projetos de pesquisa que abordavam como tema principal, as profissões. Nestes, buscavam identificar todos os aspectos possíveis da profissão escolhida para a pesquisa, com o intuito de verificar a carreira que cada um gostaria de seguir no futuro. No desenvolvimento deste estudo, a intervenção amparou-se na resolução de problemas matemáticos acompanhada da formulação de problemas a partir de temas interdisciplinares, para verificar se essa abordagem tem potencial de contribuir com a melhoria do processo de ensino e, consequentemente, da qualidade do ensino e da aprendizagem da Matemática na Educação Básica. A seguir, há a apresentação e o detalhamento de cada encontro, e a descrição dos objetivos e das atividades realizadas. 47 4.1 Descrição dos encontros Nos encontros realizados com os alunos que participaram da intervenção pedagógica, foram explorados problemas de livros didáticos, olimpíadas matemáticas, sites relacionados à disciplina e, ainda, dos bancos de dados da Prova Brasil. Os encontros ocorreram nas dependências da escola, semanalmente. Nestes, não foram introduzidos ou explicados conteúdos envolvidos nos problemas, considerando que a intenção foi estimular o envolvimento dos temas de pesquisa dos alunos em relação à formulação e resolução de problemas matemáticos de forma interdisciplinar. Encontro 1 Objetivos:  discutir sobre a resolução de problemas, levantando aspectos importantes em relação ao tema;  apresentar informações sobre a pesquisa, sua duração aproximada, a forma de condução dos encontros e respectivos objetivos. Neste encontro iniciamos com a explicação da proposta de trabalho para os alunos, tendo o cuidado de não dar muitos detalhes em relação à metodologia da Resolução de Problemas no primeiro momento, pois inicialmente propomos um questionário (QUADRO 2) para os alunos, com o intuito de coletar e verificar aspectos que eles consideram importantes e como eles visualizam a Matemática e as questões relacionadas a ela. Após este momento, realizou-se a socialização das respostas e ideias de cada aluno. Durante esta atividade, aproveitamos a oportunidade para complementar e explicar de forma mais detalhada a proposta da intervenção, esclarecendo os objetivos das atividades que seriam propostas e os detalhes da metodologia da Resolução de Problemas Matemáticos, as diferentes estratégias de resolução e os diferentes tipos e classificações de problemas existentes. 48 Quadro 2 – Questionário inicial Nº Questão 1 O que é um problema matemático para você? 2 Como você resolve um problema matemático? 3 Você gosta de resolver problemas matemáticos? Por quê? 4 Tem alguma outra disciplina que trabalha com a “resolução de problemas”? De que forma? Fonte: Das autoras, 2014. Encontro 2 Objetivos:  analisar, interpretar e resolver situações problemas;  resolver os problemas matemáticos individualmente e após em grupos socializar os resultados obtidos. Inicialmente, propomos dois problemas (FIGURA 1 e FIGURA 2) para que os alunos resolvessem individualmente, após houve uma socialização das respostas com o intuito de verificar as diferentes estratégias e formas que utilizaram para resolvê-los. Figura 1 – Problema 1 Fonte: DANTE, 2009. 49 Figura 2 – Problema 2 Fonte: DANTE, 2009. No final deste encontro, após a resolução dos problemas, propomos aos alunos que formulassem problemas matemáticos envolvendo palitos de fósforo, atividade na qual realmente percebeu-se que imaginação e criatividade andam juntas. Encontro 3 Objetivo:  explorar a leitura, a interpretação e a resolução de problemas matemáticos. Neste encontro, os alunos organizaram-se em três grupos quando lhes foram propostos três problemas, de acordo com a Figura 3, Figura 4 e Figura 5. Todos os grupos resolveram os problemas propostos e após sua resolução, cada grupo apresentou a resposta de um dos problemas para a turma, visando confrontar ideias e estratégias. A proposta de trabalhar em grupos teve o intuito de promover o trabalho coletivo, para o aluno saber ouvir e se posicionar frente às ideias dos colegas, além de construir coletivamente o conhecimento. 50 Figura 3 – Problema dos ladrilhos Fonte: DANTE, 2009. Figura 4 – Problema da gincana Fonte: DANTE, 2009. 51 Figura 5 – Problema da escultura Fonte: DANTE, 2009. Encontro 4 Objetivos:  analisar, interpretar e resolver situações problemas;  conhecer diferentes estratégias para resolver problemas. Neste encontro a organização dos alunos foi em duplas para resolver os problemas indicados (FIGURA 6, 7, 8 e 9). Posteriormente, propomos que cada dupla comparasse e socializasse suas estratégias de resolução e as respostas com os demais colegas. 52 Figura 6 – Problema da garrafa e a rolha. Uma garrafa com sua rolha custam R$ 1,10. Sabendo que a garrafa custa R$ 1,00 a mais que a rolha, qual é o preço da rolha? E qual é o preço da garrafa? Fonte: http://www.oqueeoquee.com/jogos-de-logica/ - (adaptado). Figura 7 – Problema da rã insistente. Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. Na sua busca por sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 metros cada dia, sendo que a noite resvalava e descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou a sair do poço? Fonte: http://www.oqueeoquee.com/jogos-de-logica/ - (adaptado). Figura 8 – Problema da casinha. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de frente para a estrada asfaltada. Fonte: http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoMichele.pdf (adaptado) Figura 9 – Problema dos cinco quadrados. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. Fonte: http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoMichele.pdf (adaptado) Figura 6 – Problema da garrafa e a rolha Figura 7 – Problema da rã insistente Figura 8 – Problema da casinha Figura 9 – Problema dos cinco quadrados http://www.oqueeoquee.com/jogos-de-logica/ http://www.oqueeoquee.com/jogos-de-logica/ http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoMichele.pdf http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoMichele.pdf 53 Encontro 5 Objetivos:  conhecer o tema de pesquisa de cada aluno;  pesquisar as diferentes matemáticas presentes nos temas de pesquisa, as profissões. Neste encontro buscamos conhecer o tema de pesquisa de cada aluno, para termos ideia do que estavam trabalhando nas demais disciplinas, e então propomos que os mesmos fossem pesquisar e descrever as diferentes matemáticas presentes em cada tema de pesquisa, o qual estava relacionado a uma profissão. Este encontro foi realizado em dois momentos. Primeiro os alunos, na sala de aula, expuseram e relataram os seus temas de pesquisa e os seus objetivos com esta investigação, sendo que os temas são bem variados. Os alunos da turma 302 pesquisaram sobre as seguintes profissões: psicóloga, pedagoga, jornalista, contador, serigrafista, eletricista, mecânico, técnico em informática, veterinária, paisagista, pintor de casas, policial militar, advogada, agente de saúde. A turma 301 estudou as profissões: design gráfico, administrador, empreendedor 3 , fotógrafa, marketing, psicóloga, agricultor de arroz, nutricionista, equinocultor, agricultor de aipim, professor de educação física e recursos humanos. Encontro 6 Objetivo:  discutir a matemática presente nas profissões escolhidas como tema de pesquisa dos projetos. Os alunos se organizaram em um círculo, expuseram e socializaram com os demais colegas, suas pesquisas e investigações sobre a Matemática existente nos seus temas de pesquisa relacionados às profissões escolhidas. 3 Não é profissão, mas foi indicado pelos alunos como uma escolha profissional. 54 Encontro 7 Objetivos:  discutir a formulação de problemas matemáticos;  explorar a formulação e escrita de problemas matemáticos. Inicialmente expusemos aos alunos a importância de formular problemas, atividade que envolve escrita e relação entre os dados propostos no problema formulado, além da necessidade de resolver o que foi formulado. Neste encontro, solicitamos que os alunos trouxessem para a próxima aula, três imagens que tivessem relação com o seu tema de pesquisa. Encontro 8 Objetivo:  explorar a formulação, escrita e resolução de problemas matemáticos. Conforme combinado no encontro anterior, os alunos trouxeram imagens e figuras relacionadas com as profissões dos projetos de pesquisa e, a partir dessas imagens, formularam problemas diversos, envolvendo a profissão e a Matemática. Alguns formularam apenas três problemas, outros, mais de cinco, sendo que as situações foram bem variadas. Encontro 9 Objetivo:  analisar e digitar os problemas matemáticos formulados. A atividade de digitar os problemas formulados foi desenvolvida no laboratório de informática da escola, após a digitação, os alunos encaminharam por e-mail os problemas formulados e digitados por eles. Neste encontro também foi possível explorar o uso das tecnologias disponíveis e ao alcance dos alunos, utilizando os programas e as ferramentas que a tarefa exigia para a sua concretização. 55 Encontros 10, 11 e 12 Objetivo:  analisar e resolver os problemas matemáticos formulados pelos colegas, corrigir e questionar quando houver dúvidas. Nesta aula, propomos aos alunos que resolvessem os problemas formulados pelos demais colegas, para assim socializar e trocar os problemas formulados por eles mesmos, com o intuito de realizarem correções, indagações, além de buscarem as respostas de todos os problemas formulados. Foi entregue uma cópia de todos os problemas formulados pela turma para cada aluno que, iniciaram, individualmente, a análise e resolução dos problemas matemáticos que envolviam os temas dos projetos de pesquisa. Encontro 13 Objetivo:  classificar os problemas matemáticos formulados em categorias, segundo autores como Dante, Smole e Diniz. Primeiramente mostramos aos alunos, na forma de apresentação, algumas classificações que certos autores abordam na resolução de problemas. De acordo com Smole e Diniz (2001), podemos classificar os problemas em:  Problemas sem solução;  Problemas com mais de uma solução;  Problemas com excesso de dados;  Problemas de lógica. Para Dante (1998), um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve:  ser desafiador para o aluno; 56  ser real;  ser interessante;  ser o elemento de um problema realmente desconhecido;  não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas;  ter um nível adequado de dificuldade. Outras categorias:  Problema incompleto;  Problema no qual sobram dados. Logo após esta socialização, os alunos, em conjunto, classificaram todos os problemas por eles formulados em 11 categorias, de acordo com o Quadro 3. Quadro 3 – Categorias utilizadas na classificação dos problemas formulados Categoria Identificação Problemas sem solução A1 Problemas com mais de uma solução A2 Problemas com excesso de dados A3 Problemas de lógica A4 Problema desafiador para o aluno A5 Problema real A6 Problema interessante A7 Ser o elemento de um problema realmente desconhecido A8 Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas (conteúdo) A9 Problema com um nível adequado de dificuldade A10 Problema incompleto A11 Fonte: Das autoras, 2014. Esta atividade envolveu todos os alunos, os quais tiveram que rever os seus problemas e os dos colegas, para julgarem quais as classificações adequadas para 57 cada um. Este momento valorizou e levou em conta a opinião de cada aluno, os seus pontos de vista e a sua criticidade. Posterior à categorização dos problemas formulados, finalizamos nossos encontros através da aplicação de um questionário aos alunos, de acordo com o Quadro 4. Quadro 4 – Questionário final Nº Questão 1 Você gosta de trabalhar com resolução de problemas matemáticos? Comente. 2 O que você achou da ideia de trabalhar a resolução de problemas relacionada com os seus projetos de pesquisa de forma interdisciplinar? Que sugestões de modificação você teria para melhorar esta abordagem? 3 Você já formulou problemas em outros momentos? Comente. 4 Qual a importância que você considera a essa atividade de formular problemas? 5 Como você vê essa relação entre o seu tema de pesquisa e a matemática? 6 Quais os aspectos positivos e negativos que você percebeu nessa abordagem? Fonte: Das autoras, 2014. Este questionário final foi aplicado com o intuito de verificarmos o quanto os alunos se envolveram nas atividades propostas e como elas foram significativas para eles, além de averiguar a importância que estas atividades têm para eles. 58 5 ANÁLISE DOS DADOS Neste capítulo apresentamos a análise dos dados que está dividida em três seções. Na análise dos dados, tendo em vista preservar a identidade e a integridade dos sujeitos envolvidos na pesquisa, foram utilizadas letras e números a fim de identificar e diferenciar os alunos que participaram da intervenção pedagógica. Utilizamos a letra E para indicar os estudantes, completando com números os 25 participantes da pesquisa, como E1, E2, E3,..., E25. E para a classificação dos problemas formulados pelos alunos, utilizamos a letra A mais os números de 1 a 11 para identificar as 11 categorias, como: A1, A2, A3,..., A11. 5.1 Análise do questionário inicial No primeiro encontro realizamos um questionário inicial com os participantes da intervenção, no intuito de angariar informações relacionadas com o que os alunos pensam sobre a proposta de resolver problemas, conforme o Quadro 2. Em relação à primeira questão, alguns alunos disseram que um problema matemático poderia ser qualquer problema do dia a dia, em casa ou no trabalho que precisariam resolver. Outros responderam que eram os exercícios que a professora de Matemática passava, questões que envolviam números e fórmulas, assim como: Um problema de matemática para mim envolve números e contas. (E13) 59 Uma dúvida que se tem com coisas reais da vida e que necessitam de contas e números. (E16) Dante (1989, p. 10) considera que um problema matemático "é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la". Esta é uma relação que os alunos também fizeram, dizendo que que se era de matemática, envolvia situações matemáticas para resolvê-lo. De acordo com a fala do aluno E23, percebemos que os alunos estavam ainda muito presos em relação ao conteúdo. Tudo o que tem número, raiz quadrada, o que envolve fórmulas, Bháskara. Problema matemático é algo que a resposta deve ser exata. (E23) Ao responderem a segunda questão que abordava as maneiras de resolver um problema, alguns alunos responderam que iriam utilizar uma fórmula, outros disseram que poderiam fazer um desenho, resolver por tentativas ou até mesmo por lógica. Mas esta questão mostrou que os alunos não conseguem ver a Matemática sem fórmulas e sem números complicados, segundo a resposta do aluno E6: Usando fórmulas, somando, diminuindo, multiplicando, dividindo e lendo o problema com muita atenção. (E6) Conforme Cavalcanti (2001, p. 128), é importante os alunos resolverem problemas com desenhos, pois “quando desenham elas explicitam mais facilmente os significados presentes no texto – palavras, cenas, informações, operações, etc. – e assim constroem uma representação mental dos mesmos”. Muitos alunos ainda destacaram a importância da leitura e da interpretação, como, por exemplo: Eu leio e releio várias vezes até conseguir entender o que o problema traz para mim resolver. (E2) Leio o problema com atenção, se ainda não entendi leio de novo, e depois tento resolver. (E21) Respostas que corroboram com as ideias de Naspolini (1996, p. 28), Quando alguém lê algo, inicia aplicando um determinado esquema, alterando-o ou confirmando-o, ou ainda, tornando-o mais claro e exato. Assim, duas pessoas que estão lendo o mesmo texto podem entender mensagens diferentes, porque seus esquemas cognitivos são diferentes, ou seja, as capacidades já internalizadas e o conhecimento de mundo de cada uma são específicos. 60 O autor também enfatiza que “Ler é o processo de construir significado a partir do texto” (1996, p. 25). Para tanto é importante que, em cada situação, o aluno-leitor tenha a oportunidade de mobilizar os seus conhecimentos, e assim estabelecer ligações com