UNIVERSIDADE DO VALE DO TAQUARI - UNIVATES 

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS   

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 

 

 

 

 

 

 

IMPLEMENTAÇÃO DE UM CÓDIGO COMPUTACIONAL PARA 

SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS 

 

Rafael Diogo Weimer 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Lajeado/RS, novembro de 2020 



Rafael Diogo Weimer 

 

 

 

 

 

 

IMPLEMENTAÇÃO DE UM CÓDIGO COMPUTACIONAL PARA 

SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS 

 

 

Monografia apresentada no componente 

curricular Trabalho de Conclusão de Curso 

II, do curso de Engenharia Mecânica, da 

Universidade do Vale do Taquari, como 

parte da exigência para obtenção do título 

de Bacharel em Engenharia Mecânica. 

Orientador: Prof. Dr. Lober Hermany 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lajeado/RS, novembro de 2020 



AGRADECIMENTOS 

 

À minha família, especialmente meus pais, por sempre me incentivarem a 

estudar, e por não medirem esforços para me ajudar sempre que necessário. 

Agradeço também aos meus amigos e colegas de trabalho, por sempre 

estarem presentes, me apoiando e incentivando, e pela compreensão pelos 

momentos em que me fiz ausente.  

Por fim, agradeço à Univates, e todos os professores do curso, pelos 

ensinamentos passados. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



RESUMO 

 

 

As equações de Navier-Stokes são Equações Diferenciais Parciais que descrevem o 
comportamento de diversos fluidos, sendo aplicadas em vários campos de estudo. 
Devido a sua complexidade, poucas situações possuem solução analítica, o que faz 
necessário a aplicação de outros métodos para obter soluções aproximadas e 
coerentes com a realidade. Uma dessas soluções é a dinâmica dos fluidos 
computacional, na qual são aplicados métodos numéricos para a simulação 
computacional de escoamentos. No presente estudo, buscou-se desenvolver um 
código numérico utilizando o método dos volumes finitos para simular o escoamento 
de fluidos incompressíveis em escoamento bidimensional para baixos números de 
Reynolds. O código foi desenvolvido utilizando uma malha desencontrada, e 
empregou-se o método PRIME para o problema do acoplamento pressão-velocidade 
e, para validação dos resultados, foi analisado o problema do escoamento em uma 
cavidade com tampa móvel utilizando diferentes números de Reynolds. As simulações 
foram feitas, inicialmente, em uma malha de 129 x 129 volumes de controle, e os 
resultados dos perfis de velocidade para números de Reynolds de 100 e 400 se 
mostraram próximos aos da literatura. Para os números de Reynolds de 1000 e 3200, 
a simulação com malha de 129 x 129 apresentaram diferenças elevadas para as 
velocidades máximas e mínimas em relação aos dados obtidos na literatura. Por isso, 
foram realizadas novas simulações em uma malha da 200 x 200, com as quais foi 
possível verificar uma melhora significativa nos resultados, sendo que a máxima 
variação entre os dados obtidos nas simulações e os dados obtidos na literatura 
passou de 26% para 16/8%. Além disso, foi realizada a comparação das linhas de 
corrente geradas pelo código numérico com as disponíveis na literatura, que se 
mostraram coerentes. Dessa forma, verificou-se que o código implementado possui 
boa precisão numérica e gráfica, fatores importantes para a análise de dados. 
 
Palavras-chave: Dinâmica dos Fluidos Computacional. Método dos Volumes Finitos. 
Equações de Navier-Stokes. Python.



LISTA DE ILUSTRAÇÕES 

 

LISTA DE FIGURAS 

Figura 1 – Deformação em fluidos ............................................................................ 16 

Figura 2 – Classificação do escoamento dos fluidos ................................................. 20 

Figura 3 – Escoamento turbulento (a) x Escoamento laminar (b) ............................. 21 

Figura 4  – Escoamento uniforme em uma tubulação ............................................... 23 

Figura 5 – Escoamento uni e bidimensional .............................................................. 24 

Figura 6 – representação do escoamento de sangue no coração feita por Da Vinci x 

Simulação computacional.......................................................................................... 25 

Figura 7 – Representação das linhas de corrente ..................................................... 26 

Figura 8  – Padrão de linhas de emissão em torno de um objeto ............................. 27 

Figura 9 – Gráfico vetorial da velocidade de um escoamento ................................... 28 

Figura 10 – Gráfico de contorno de uma distribuição de pressão ............................. 28 

Figura 11 – Movimentos e deformações de uma partícula ........................................ 29 

Figura 12 – Rotação de um elemento de fluido ......................................................... 31 

Figura 13 – Domínio contínuo x domínio discreto ..................................................... 39 

Figura 14 – Exemplo de uma malha 2d não uniforme ............................................... 39 

Figura 15 – Representação de uma malha unidimensional....................................... 40 

Figura 16 – Representação do Método dos Volumes de Controle Unidimensional ... 41 

Figura 17 – Exemplo de malha estruturada mista ..................................................... 42 

Figura 18 – Exemplo de uma malha estruturada em blocos ..................................... 43 

Figura 19 – Exemplo de malha não estruturada ........................................................ 43 

Figura 20 – Representação das condições de fronteira ............................................ 44 

Figura 21 – Arranjo colocalizado unidimensional. ..................................................... 46 

Figura 22 – Representação do arranjo desencontrado. ............................................ 48 



Figura 23 – Volume de controle unidimensional para integração .............................. 49 

Figura 24 – Propriedades de uma solução numérica ................................................ 55 

Figura 25 -  Volumes de controle para cada variável ................................................ 58 

Figura 26 – Volume de controle para a pressão ........................................................ 63 

Figura 27 – Etapas do código numérico criado ......................................................... 67 

Figura 28 – Representação do escoamento dentro de uma cavidade com tampa 

móvel ......................................................................................................................... 69 

Figura 29 – Campos de velocidade para diferentes números de Reynolds .............. 70 

Figura 30 – Campos de pressão para diferentes números de Reynolds ................... 72 

Figura 31 – Comparação entre linhas de corrente para Re = 100 ............................ 82 

Figura 32 – Comparação entre linhas de corrente para Re = 400 ............................ 82 

Figura 33 – Comparação entre linhas de corrente para Re = 1000........................... 83 

Figura 34 – Comparação entre linhas de corrente para Re = 3200........................... 83 

Figura 35 – Comparação entre linhas de corrente da simulação (Re = 3200) e 

experimentais (Re = 10000). ..................................................................................... 84 

Figura 36 – Linhas de corrente em diferentes instantes de tempo para Re = 3200 .. 85 

 

 

LISTA DE GRÁFICOS 

Gráfico 1 – Perfil da componente velocidade u para Re = 100 ................................. 73 

Gráfico 2 – Perfil da componente de velocidade u para Re = 400 ............................ 74 

Gráfico 3 – Perfil da componente de velocidade u para Re = 1000 .......................... 74 

Gráfico 4 – Perfil da componente de velocidade u para Re = 3200 .......................... 74 

Gráfico 5 - Perfil da componente de velocidade v para Re = 100 ............................. 75 

Gráfico 6 – Perfil da componente de velocidade v para Re = 400 ............................ 75 

Gráfico 7 – Perfil da omponente de velocidade v para Re =1000 ............................. 76 

Gráfico 8 – Perfil da componente de velocidade v para Re = 3200........................... 76 



LISTA DE TABELAS 

 

 

Tabela 1 – Comparação das velocidades máxima e mínima para diferentes números 

de Reynolds. ............................................................................................................. 77 

Tabela 2 – Comparação das velocidades máxima e mínima para diferentes números 

de Reynolds com malha de 200 x 200 ...................................................................... 81 

 



LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 

 

 

CDS Central Difference Scheme – Esquema das diferenças centrais 

Γ Coeficiente difusivo 

𝑘 Condutividade térmica (W/m2.k) 

∆ Diferença 

DFC Dinâmica dos Fluidos Computacional 

EDP  Equação Diferenciais Parciais 

𝑔 Gravidade (m/s2) 

m  Massa (Kg) 

𝜌 Massa específica (kg/m3) 

MDF Método das Diferenças Finitas 

MVF Método dos Volumes Finitos 

E Módulo de elasticidade (Pa)  

𝑀 Número de Mach 

𝑅𝑒 Número de Reynolds 

∇ Operador gradiente 

𝛾 Peso específico (N/m3) 

P Pressão (Pa) 

𝑇 Temperatura (°C) 

𝜏 Tensão cisalhante (Pa) 

𝑆 Termo fonte 

TDMA TriDiagonal Matrix Algorithim – Algoritmo de matriz tridiagonal 

UDS   Upwind Difference scheme – Esquema das diferenças upwind 

∅ Variável Genérica 

�⃗⃗�  Velocidade angular (rad/s) 



  

𝜇 Viscosidade (Pa.s) 

VC Volume de Controle 



 

 

SUMÁRIO 

 

 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 11 

1.1 Tema .................................................................................................................. 12 

1.2 Problema de pesquisa ...................................................................................... 12 

1.3 Objetivo geral .................................................................................................... 12 

1.4 Objetivos específicos ....................................................................................... 12 

1.5 Justificativa ....................................................................................................... 13 

1.6 Estrutura do trabalho........................................................................................ 13 

 

2 REFERENCIAL TEÓRICO..................................................................................... 15 

2.1 Conceitos fundamentais da mecânica dos fluidos ........................................ 15 

2.1.1 Definição de fluido ......................................................................................... 15 

2.1.2 O meio contínuo ............................................................................................. 16 

2.1.3 Campos vetoriais ........................................................................................... 17 

2.1.4 Propriedades dos fluidos .............................................................................. 18 

2.1.5 Classificação do movimento dos fluidos ..................................................... 19 

2.1.5.1 Escoamento não viscoso ........................................................................... 20 

2.1.5.2 Escoamento viscoso ................................................................................... 20 

2.1.5.3 Escoamento laminar e turbulento .............................................................. 21 

2.1.5.4 Escoamento compressível e incompressível ........................................... 22 

2.1.5.5 Escoamento interno e externo ................................................................... 22 

2.1.5.6 Escoamento uni, bi e tridimensional ......................................................... 23 

2.1.6 Visualização do escoamento: observando o padrão de movimento do 

fluido......................................................................................................................... 24 

2.1.6.1 Linhas de corrente ...................................................................................... 25 

2.1.6.2 Linhas de emissão ...................................................................................... 26 

2.1.6.3 Gráficos vetoriais ........................................................................................ 27 

2.1.6.4 Gráficos de contorno .................................................................................. 28 

2.1.7 A dinâmica dos fluidos e suas leis governantes ......................................... 29 

2.1.7.1 A translação de uma partícula fluida ......................................................... 29 



2.1.7.2 Rotação e vorticidade de partículas fluidas .............................................. 31 

2.1.7.3 Deformações de um elemento de fluido e o campo de tensões ............. 32 

2.1.7.4 A equação da continuidade ........................................................................ 33 

2.1.7.5 Quantidade de movimento e as equações de Navier-Stokes .................. 34 

2.1.7.5 A função de corrente para escoamentos .................................................. 36 

2.2 Modelagem numérica e simulações computacionais .................................... 36 

2.2.1 A forma genérica das equações de transporte ............................................ 37 

2.2.2 Métodos numéricos e a discretização do domínio ...................................... 38 

2.2.2.1 Método das diferenças finitas (MDF) ......................................................... 39 

2.2.2.2 Método dos volumes finitos (MVF) ............................................................ 41 

2.2.3 Tipos de malhas numéricas .......................................................................... 42 

2.2.4 Condições iniciais e de contorno ................................................................. 44 

2.2.5 O acoplamento Pressão-velocidade e os tipos de arranjo das variáveis  . 45 

2.2.7 Solução das equações discretizadas ........................................................... 53 

2.3.6 Propriedades da solução numérica .............................................................. 54 

 

3 METODOLOGIA .................................................................................................... 56 

3.1 Classificação ..................................................................................................... 56 

3.2 Etapas de elaboração do código computacional ........................................... 56 

3.2.1 Delimitação das variáveis e do escoamento ................................................ 57 

3.2.2 Discretização do domínio .............................................................................. 57 

3.2.3  Discretização das equações ......................................................................... 58 

3.2.4 Solução para o acoplamento Pressão-Velocidade ...................................... 62 

3.2.5 Resolução do sistema linear encontrado ..................................................... 65 

3.2.6 Implementação e verificação dos dados ...................................................... 66 

 

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................. 68 

4.1 Escoamento em cavidade com tampa móvel ................................................. 68 

4.1.1 Campo de velocidades................................................................................... 70 

4.1.2 Campo de pressões ....................................................................................... 71 

4.1.3 Perfil das componentes de velocidade ........................................................ 73 

4.1.3 Análise das linhas de corrente ...................................................................... 81 

4.1.3 Evolução temporal do escoamento .............................................................. 85 

 

5 CONCLUSÃO ........................................................................................................ 87 

 

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 89 

 
APÊNDICE A – Código numérico desenvolvido ................................................... 92 

 

 



11 
 

 

1 INTRODUÇÃO 

 

 

 O estudo do comportamento e movimento dos fluidos e como eles interagem 

com o ambiente sempre despertou a curiosidade do ser humano, que, como nas 

demais áreas da ciência, buscou maneiras de expressar matematicamente suas 

observações e as leis fundamentais que os descrevem. 

 Dentre tais leis encontram-se as equações de Navier-Stokes, equações 

parciais de segundo grau que descrevem o movimento de Fluidos Newtonianos e 

incompressíveis. No cotidiano de um engenheiro elas possuem diversas aplicações, 

pois podem ser utilizadas para prever o comportamento de fluidos em diversas 

situações, como no escoamento em tubulações, desenvolvimento de aeronaves, 

dentre outras. Porém, conforme Fortuna (2012), por se tratarem de equações 

diferenciais parciais - EDPs, elas possuem soluções analíticas somente para poucas 

situações, consideradas simples, devido a sua elevada complexidade. 

 Devido ao seu alto grau de complexidade, faz-se necessária a aplicação de 

outras técnicas para se obter aproximações adequadas aos problemas modelados. 

Uma dessas alternativas é a aplicação de métodos numéricos juntamente com 

ferramentas computacionais para se obter soluções numéricas para as equações de 

Navier-Stokes e demais equações relacionadas e, assim, construir simulações e 

obter-se dados de interesse, tais como campos de velocidade, pressão e distribuição 

de temperaturas, para auxiliar na tomada de decisões. A essa área de estudos deu-

se o nome de Dinâmica dos Fluidos Computacional (FORTUNA, 2012). 

 



12 
 

Nesse sentido, com a presente monografia busca-se o desenvolvimento de um 

código numérico para a simulação do escoamento de fluidos incompressíveis e 

Newtonianos, por meio da aplicação de técnicas numéricas para discretização das 

equações de Navier-Stokes a fim de se aprofundar os conhecimentos sobre as etapas 

metodológicas para tal. 

 

1.1 Tema 

 

 Desenvolvimento de um código numérico, por meio da linguagem Python, para 

a simulação do escoamento de fluidos incompressíveis em situações bidimensionais 

para baixos números de Reynolds. 

 

1.2 Problema de pesquisa 

 

 Existem diversos softwares comercias utilizados durante a etapa de 

desenvolvimento de projetos para a simulação do comportamento de fluidos e de 

como estes agem sobre outros corpos. Dessa forma, busca-se entender o 

funcionamento por detrás desses softwares, especificamente a metodologia 

matemática aplicada para simulação dos fenômenos físicos envolvendo a fluido 

dinâmica. 

 

1.3 Objetivo geral 

 

O objetivo desta pesquisa é a modelagem e solução numérica das equações 

que governam o escoamento bidimensional de fluidos e a criação de um código com 

a linguagem Python para simulação e visualização desses fenômenos. 

 

1.4 Objetivos específicos 

 
 Os objetivos específicos são: 

a) modelagem das equações de escoamento de fluidos incompressíveis; 

b) discretização das equações através de um método numérico; 

c) implementação de um código utilizando a linguagem Python para a solução 

das equações; 



13 
 

d) verificação do código por meio da solução de problemas encontrados na 

literatura. 

 

1.5 Justificativa 

  

 As simulações computacionais são utilizadas em diversas áreas, dentre elas a 

mecânica dos fluidos, para simular e prever o comportamento de sistemas e situações 

complexas. Na mecânica dos fluidos, elas podem ser aplicadas em várias situações 

que envolvem a interação de fluidos e outros objetos e, assim, prever o valor de alguns 

parâmetros de interesse, como o campo de pressões, temperaturas e a velocidade do 

escoamento. 

De acordo com Moukalled, Mangani e Darwish (2016), a dinâmica dos fluidos 

computacional é uma ferramenta altamente utilizada em diversos ramos da indústria, 

como a automotiva e na de geração de energia, bem como na indústria de eletrônicos, 

na qual pode ser utilizada para implementar sistemas de energia ou melhorar a 

transferência de calor em equipamentos eletrônicos. Ainda, segundo os autores, ela 

se tornou uma ferramenta muito importante na área biomédica, na qual é utilizada 

para o desenvolvimento e validação de aplicações médicas. 

Há, atualmente, diversos softwares comerciais empregados para a realização 

dessas simulações. Porém, por se tratarem de programas pagos, não é possível 

consultar o código numérico empregado por eles. Além disso, inúmeras vezes, 

surgem situações específicas nas quais é preciso realizar a alteração de parâmetros 

e implementação de outras considerações, que não são possíveis em tais programas, 

sendo necessária a implementação de algoritmos específicos. 

Tendo em vista tais fatos, surge o interesse pela área, buscando conhecer 

quais métodos matemáticos são utilizados para a criação desses modelos e como 

eles são transformados em simulações computacionais. Além da vontade de 

implementar um código próprio para o desenvolvimento de habilidades e técnicas 

utilizadas na área de interesse da pesquisa. 

 

1.6 Estrutura do trabalho  

 

A monografia está dividida em cinco capítulos. 



14 
 

No primeiro capítulo, realiza-se uma breve descrição sobre o tema e objetivos 

do trabalho, bem como sobre a importância e aplicações da dinâmica dos fluidos 

computacional. 

No segundo capítulo, aborda-se a revisão bibliográfica, na qual são 

apresentadas informações pertinentes ao assunto do trabalho, como os principais 

conceitos utilizados na mecânica dos fluidos, as principais leis que governam o 

escoamento de fluidos e uma revisão sobre os métodos numéricos e sua aplicação 

na dinâmica dos fluidos computacional. 

No terceiro capítulo, apresenta-se a classificação da proposta do trabalho, bem 

como uma descrição das etapas metodológicas seguidas para a discretização das 

equações e implementação do código numérico. 

No quarto capítulo, é realizada a análise dos resultados obtidos com as 

simulações e a comparação destes com dados disponíveis na literatura. Por fim, no 

quinto capítulo são apresentadas as conclusões, bem como sugestões para trabalhos 

futuros. 



15 
 

2 REFERENCIAL TEÓRICO 

 

 

2.1 Conceitos fundamentais da mecânica dos fluidos 

 

 A mecânica dos fluidos, conforme Fox, Pritchard e McDonald (2014, texto 

digital) “é o estudo dos fluidos em repouso ou em movimento”. Essa definição, que 

parece muito simples, resume um amplo campo de estudos e aplicações. Na 

realidade, a mecânica dos fluidos pode ser utilizada para descrever diversas situações 

presentes no dia a dia, como o processo de respiração, o movimento dos rios e 

oceanos, o bater de asas de um pássaro e o voo de um avião, bem como o sangue 

circulando pelo corpo humano. 

 

2.1.1 Definição de fluido 

 

 Mas o que especificamente é um fluido? É preciso ter uma definição precisa 

antes que se possa fazer qualquer afirmação sobre as leis que governam tais 

substâncias. 

 Muitos autores definem os fluidos como um estado da matéria diferente do 

estado sólido, classificação na qual encontram-se tanto líquidos quanto gases. Pode-

se caracterizá-los pela sua reação a aplicação de uma tensão tangencial, com a qual, 

diferentemente dos sólidos, eles irão se deformar de forma contínua até que a tensão 

cesse (DAUGHERTY; FRANZINI, 1965; FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014; 

RIEUTOURD, 2015). Além disso, os autores também comentam sobre outras 

características dessas substâncias, como a capacidade de, ao serem colocadas em 

algum recipiente, se deformarem e assumirem o seu formato.



16 
 

Conforme colocado por Albertson, Barton e Simons (1966), a estrutura atômica 

dos sólidos e dos fluidos é diferente. Nos sólidos, a estrutura molecular é rígida e 

tende a resistir a forças aplicadas sobre ela, diferentemente dos fluidos, que 

apresentam uma estrutura molecular mais flexível, na qual os átomos e moléculas 

conseguem se mover pelo espaço em que se encontram. 

Os fluidos apresentam uma propriedade característica conhecida como 

viscosidade (µ). Ela representa uma resistência ao movimento entre duas camadas 

de fluido sobressalentes, ou ainda, a resistência a uma força de cisalhamento 

(DAUGHERTY; FRANZINI, 1965). Na Figura 1, é representado um elemento de fluido 

entre duas placas planas. Se for aplicada uma força constante na placa superior, é 

possível observar que o elemento de fluido irá se deformar constantemente até a força 

deixar de ser aplicada. 

 

Figura 1 – Deformação em fluidos 

 

Fonte: Fox, Pritchard e McDonald (2014, texto digital). 

  

A viscosidade está diretamente relacionada com essa deformação. Dessa 

forma, um fluido com alta viscosidade apresentará uma taxa de deformação menor do 

que a de um fluido com baixa viscosidade. De acordo com Potter, Wiggert e Ramadan 

(2012), a viscosidade faz com que as camadas de fluidos fiquem aderidas às 

superfícies que estão em contato, fazendo com que essas camadas desenvolvam as 

mesmas velocidades que as superfícies. Essa condição é conhecida como “Condição 

de Não Deslizamento”. 

 

2.1.2 O meio contínuo  

 
 Imaginando uma quantidade de fluido dentro de um recipiente, pode-se 

considerar que suas características, como a massa específica, são homogêneas em 

qualquer ponto escolhido aleatoriamente, num mesmo instante de tempo. Porém, 



17 
 

quando a distância de observação é diminuída até ser possível observar as moléculas 

que formam o fluido, percebe-se que suas propriedades podem apresentar grandes 

variações de uma região para a outra, devido a distribuição da matéria. 

 De acordo com Fox, Pritchard e McDonald (2014), no meio contínuo, que é o 

alicerce da mecânica dos fluidos, considera-se que as propriedades dos fluidos estão 

distribuídas continuamente, ou seja, considera-se as propriedades do ponto de vista 

macroscópico. Para isso, segundo os autores, a hipótese do contínuo é válida 

enquanto as dimensões características do problema forem maiores que o caminho 

médio livre das moléculas. 

 

2.1.3 Campos vetoriais  

 

A maioria das propriedades dos fluidos são grandezas vetoriais, que possuem 

módulo, direção e sentido. Além disso, elas podem variar de acordo com o ponto em 

que estão sendo medidas e com o passar do tempo (RIEUTOURD, 2015). Por 

exemplo, a velocidade do fluido em um ponto específico pode ser representada pelo 

vetor �⃗� , conforme demonstra a Equação 1. 

 

                                                     �⃗� =  𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)                                                          (1) 

 

Caso a velocidade de cada componente também varie com o tempo, o vetor 

velocidade pode ser representado pela Equação 2. 

 

                                                �⃗� =  𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑡)                                                   (2) 

 

 Conforme Rieutord (2015), esse tipo de observação das propriedades em 

pontos do domínio, e não de partículas específicas, é conhecido como visão euleriana. 

A utilização de vetores introduz a noção de um campo vetorial, no qual a quantidade 

vetorial em questão pode assumir diferentes valores em diferentes pontos (FOX; 

PRITCHARD; MCDONALD, 2014).  

Ainda, segundo Fox, Pritchard e Mcdonald (2014), o escoamento pode ser 

classificado em transiente ou permanente. No regime permanente, a propriedade 

observada mantém-se constante no ponto escolhido para observação. Já no regime 



18 
 

transiente, a propriedade varia suas características no ponto de observação com o 

passar do tempo. O regime permanente pode ser expresso pela Equação 3: 

 

                                            
𝜕�⃗� 

𝜕𝑡
=  0                                                                (3)                     

 

2.1.4 Propriedades dos fluidos 

 

 Na literatura específica, diversos autores apresentam outras propriedades, 

além da viscosidade, utilizadas para descrever os fluidos, e que são muito presentes 

na mecânica dos fluidos (ALBERTSON; BARTON; SIMONS, 1966; DAUGHERTY; 

FRANZINI, 1965; FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014; POTTER; WIGGERT; 

RAMADAN, 2012). Uma delas é a massa específica, definida como sendo a 

quantidade de matéria por unidade de volume (kg/m3), usualmente representada pela 

letra ρ, conforme mostra a Equação 4: 

 

                                                              𝜌 =  
𝛿𝑚

𝛿𝑉
                                                                (4) 

 

 Relacionado com a massa específica, tem-se o peso específico (EQUAÇÃO 5), 

definido como a força peso exercida por uma unidade de volume, e que é 

representado por γ, em N/m3. 

 

                                                        𝛾 =  
𝛿𝑚∗𝑔

𝛿𝑉
=  𝜌𝑔                                                         (5) 

 

É muito comum encontrar uma relação entre a viscosidade absoluta (𝜇) e a 

massa específica (𝜌). Essa razão é conhecida como viscosidade cinemática (𝜈), é 

representada pela Equação 6:  

 

                                                             𝜈 =  
𝜇

𝜌
                                                               (6) 

 

Na qual a viscosidade absoluta tem dimensão de tensão por segundo (Pa.s), a 

massa especifica tem as dimensões da Equação 4, e a viscosidade cinemática possui 

dimensões de comprimento ao quadrado pelo tempo (m2/s). 



19 
 

Os fluidos apresentam também características de compressibilidade e 

elasticidade, que representam a mudança sofrida pela massa específica e pressão 

em uma unidade de volume pela ação de forças externas e são representadas pelo 

módulo de elasticidade E, com unidade de N/m2, conforme mostra a Equação 7: 

 

                                                            𝐸 =  𝜌
𝑑𝑃

𝑑𝜌
                                                             (7) 

 

 Outras duas propriedades importantes são a pressão e a temperatura do fluido. 

A pressão pode ser entendida, na estática dos fluidos, como sendo o peso de uma 

coluna de fluido acima da região considerada, ou como uma relação entre uma força 

e um elemento de área. Ela é representada na Equação 8 pela letra P, 

 

                                                                  𝑃 =  
𝑑𝐹

𝑑𝐴
                                                               (8) 

 

cuja unidades são N/m2 ou Pa.  

 É interessante definir a variação da pressão em um elemento de fluido na sua 

forma vetorial. Essa variação é chamada de gradiente de pressão e está relacionada 

com as forças de superfície e de campo que atuam sobre o elemento de fluido (FOX; 

PRITCHARD; MCDONALD, 2014) e é representada na Equação 9. 

 

                        𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑃 ≡ ∇𝑃 ≡ (𝑖̂
𝜕𝑃

𝜕𝑥
+ 𝑗̂

𝜕𝑃

𝜕𝑦
+ �̂�

𝜕𝑃

𝜕𝑧
) ≡ (𝑖̂

𝜕

𝜕𝑥
+ 𝑗̂

𝜕

𝜕𝑦
+ �̂�

𝜕

𝜕𝑧
)𝑃                      (9) 

   

2.1.5 Classificação do movimento dos fluidos 

 

 O escoamento de fluidos pode ser caracterizado pelo seu número de Reynolds, 

que representa uma razão entre as forças inerciais e viscosas, conforme mostra a 

Equação 10:  

 

                                                              𝑅𝑒 = 𝜌
𝑣𝐿

𝜇
,                                                         (10) 

 
na qual L representa o comprimento característico. Dessa relação, observa-se que, 

quando o número de Reynolds for pequeno, são as forças viscosas que possuem 



20 
 

maior relevância no escoamento, e conforme ele aumenta, elas deixam de ter tanta 

influência (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014; PURCELL, 1977). 

O movimento dos fluidos pode ser classificado de várias maneiras, conforme 

mostra o diagrama na Figura 2. Nesta seção, serão abordadas cada uma das 

classificações. 

 

Figura 2 – Classificação do escoamento dos fluidos 

 

Fonte: Fox, Pritchard e McDonald (2014, texto digital). 

 

2.1.5.1 Escoamento não viscoso 

 

Conforme Daugherty e Franzini (1965) e Fox, Pritchard e McDonald (2014), o 

escoamento não viscoso também pode ser chamado de escoamento invíscido ou 

escoamento ideal, e ocorre quando os efeitos da viscosidade são desconsiderados, 

ou seja, 𝜇 = 0.                                                       

 

2.1.5.2 Escoamento viscoso 

 

No escoamento viscoso, a viscosidade do fluido influencia no seu movimento e 

também nas forças experimentadas por objetos imersos nele. Cabe observar, ainda, 

que os fluidos viscosos podem ser divididos em duas categorias. A primeira é a dos 

fluidos conhecidos como Newtonianos; para esses fluidos, a tensão cisalhante é 



21 
 

diretamente proporcional ao gradiente de velocidades (POTTER; WIGGERT; 

RAMADAN, 2012), conforme mostra a Equação 11 

 

                                                   𝜏𝑥𝑦 = 𝜇
𝑑𝑢

𝑑𝑦
                                                         (11)  

   

na qual 𝑢 é o componente da velocidade em relação ao eixo x. Exemplos de fluidos 

Newtonianos são a água, gasolina, e a maioria dos líquidos.  

 A segunda categoria é a dos fluidos chamados de Não Newtonianos. Conforme 

Fox, Pritchard e McDonald (2014), para esses fluidos a taxa de deformação não é 

diretamente proporcional à tensão de cisalhamento, sendo necessárias outras 

equações para descrever seu comportamento. A pasta de dentes é um exemplo de 

fluido Não Newtoniano. 

 

2.1.5.3 Escoamento laminar e turbulento 

 

O escoamento laminar caracteriza-se por camadas laminares de fluido 

escoando adjacentes umas às outras, sem se misturar. Já no escoamento turbulento, 

as camadas de fluidos sofrem alterações e interagem umas com as outras, gerando 

padrões de movimento aleatórios, fazendo com que sua análise seja extremamente 

complicada (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014). Na Figura 3 apresenta-se a 

diferença entre o escoamento laminar e turbulento para um campo de velocidades. 

 

Figura 3 – Escoamento turbulento (a) x Escoamento laminar (b) 

 
Fonte: Potter, Wiggert e Ramadan (2012, pg. 103). 

  

A classificação do escoamento como laminar ou turbulento está diretamente 

relacionada com o número de Reynolds, uma vez que ele representa a relação entre 



22 
 

as forças viscosas, que atuam quando a velocidade do fluido é baixa, e as forças de 

inércia, que predominam quando a velocidade de escoamento é alta. 

 Dessa forma, escoamentos laminares apresentarão números de Reynolds 

relativamente baixos e escoamentos turbulentos apresentarão números de Reynolds 

altos. 

 

2.1.5.4 Escoamento compressível e incompressível 

 

 Conforme Potter, Wiggert e Ramadan (2012), os fluidos são classificados como 

incompressíveis quando sua densidade permanece constante durante o escoamento 

ou quando sua variação é muito pequena e não influencia nele. A maioria dos líquidos 

e alguns gases podem ser tratados como incompressíveis. 

Ainda, segundo os autores, fluidos que apresentam variação da massa 

específica durante o escoamento, de tal maneira que influencie no escoamento, são 

denominados compressíveis. Gases escoando em turbinas de aviões e outras 

aeronaves de alta velocidade se enquadram nessa categoria. 

Uma maneira de determinar se o escoamento de um gás é compressível ou 

incompressível é o número de Mach, que é uma relação entre a velocidade do fluido 

e a velocidade da onda sonora, conforme mostra a Equação 12: 

 

                                                  𝑀 = 
𝑉

𝑐
                                                          (12) 

 

Assim, se M < 0,3, o escoamento pode ser considerado incompressível. 

 

2.1.5.5 Escoamento interno e externo 

 

Existem duas formas de escoamento de fluidos: aquelas em que ele escoa 

dentro de tubulações ou outras superfícies, como é o caso da maioria das aplicações 

industriais, que podem ser classificados como escoamentos internos (FOX; 

PRITCHARD; MCDONALD, 2014); ou quando o fluido escoa livremente sobre uma 

região, não estando confinado; sendo classificado, conforme os autores, como 

escoamento externo. 



23 
 

 Cada um dos dois tipos de escoamento apresenta características distintas e 

podem, ainda, ser divididos nas classificações anteriores. Além disso, ambos 

apresentam números de Reynolds característicos. 

 

2.1.5.6 Escoamento uni, bi e tridimensional 

 

 Outra classificação frequente dos fluidos é quanto à quantidade de 

coordenadas necessárias para descrever o escoamento e a variação da velocidade. 

Os escoamentos reais são tridimensionais, porém eles apresentam resoluções 

complexas e muito difíceis, sendo necessário utilizar simplificações, aplicando 

técnicas e considerações físicas para eliminar uma das coordenadas, obtendo-se 

assim, o escoamento bidimensional (ALBERTSON; BARTON; SIMONS, 1966). 

 De acordo com Albertson, Barton e Simons (1966), escoamentos mais simples 

podem ser aproximados por escoamentos unidimensionais, nos quais as velocidades 

e acelerações só variem em uma dimensão. Além disso, pode-se aplicar para tais 

escoamentos a ideia de escoamento uniforme (FIGURA 4), na qual é utilizada uma 

média dos valores característicos, como a velocidade, para descrever o escoamento, 

simplificando em muito a sua análise (ALBERTSON; BARTON; SIMONS, 1966; FOX; 

PRITCHARD; MCDONALD, 2014). 

 

Figura 4  – Escoamento uniforme em uma tubulação 

 

Fonte: Potter, Wiggert e Ramadan (2012, pg. 101). 

  

Na Figura 5 é apresentado o exemplo do campo de velocidades para um 

escoamento através de um cano, no qual inicialmente havia um campo 

unidimensional, visto na região esquerda. Devido variação no diâmetro da tubulação, 

surge um escoamento bidimensional, pois a velocidade passa a variar com o raio e 

com a direção x.  

 



24 
 

Figura 5 – Escoamento uni e bidimensional 

 

Fonte: Fox, Pritchard e McDonald (2014, texto digital). 

 

2.1.6 Visualização do escoamento: observando o padrão de movimento do 

fluido 

 
Quando se trabalha fluidos escoando em tubulações ou sobre superfícies de 

objetos, é interessante a visualização do comportamento do fluido, para observar 

características do escoamento, como a velocidade, e outras informações. 

Leonardo Da Vinci, por exemplo, famoso por suas descobertas e por sua 

genialidade, já fazia uso de representações visuais do escoamento de fluidos em seus 

trabalhos de pesquisa (GARHIB; KREMERS; KOOCHESFAHANI; KEMP, 2002). 

Ainda, conforme os mesmos autores, em seus estudos sobre o corpo humano, em 

especial o bombeamento de sangue pelo coração, Da Vinci utilizou linhas de corrente 

para representar a movimentação do sangue e a formação de vórtices em suas 

ilustrações. Na Figura 6, pode-se observar uma de suas ilustrações em comparação 

com uma modelagem computacional da mesma região do coração, o que mostra 

como ele era preciso em seus trabalhos. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



25 
 

Figura 6 – representação do escoamento de sangue no coração feita 
por Da Vinci x Simulação computacional 

 

Fonte: Garhib, Kremers, Koochesfahani e Kemp (2002, pg. 220). 

 

Algumas formas de visualização de escoamentos, apresentadas por diversos 

autores, serão brevemente comentadas a seguir. 

 

2.1.6.1 Linhas de corrente 

 

As linhas de corrente (FIGURA 7) são definidas como linhas traçadas tangente 

ao vetor velocidade das partículas em um mesmo instante de tempo (DAUGHERTY; 

FRANZINI, 1965) e podem ser utilizadas para observar como se dá o escoamento do 

fluido em diferentes pontos da região observada (ÇENGEL; CIMBALA, 2007).  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



26 
 

Figura 7 – Representação das linhas 
de corrente 

 

Fonte: White (2018, pg. 40). 

  

Conforme White (2018), as linhas de corrente são um dos meios mais utilizados 

para observar o comportamento dos fluidos, e a relação matemática que as descreve 

é apresentada na Equação 13: 

 

                                                
𝑑𝑟

𝑉
= 

𝑑𝑥

𝑢
= 

𝑑𝑦

𝑣
=
𝑑𝑧

𝑤
                                    (13) 

 

na qual 𝑑𝑟 é um elemento de comprimento de arco de uma linha de corrente e 𝑉 é o 

vetor velocidade tangencial a ela. 

 

2.1.6.2 Linhas de emissão 

 

 De acordo com Çengel e Cimbala (2007), Fox, Pritchard e McDonald (2014), 

entre outros autores, as linhas de emissão são formadas quando conectamos todas 

as partículas que passaram em um determinado ponto. Experimentalmente, pode-se 

inserir tinta ou fumaça em um determinado ponto do escoamento continuamente, e 

assim observar o seu desenvolvimento. Ainda, conforme os autores, as linhas de 

emissão e de corrente são idênticas para escoamentos laminares e permanentes. 

 Na Figura 8, observa-se um escoamento em regime permanente, no qual 

utilizou-se fumaça para marcar a trajetória das partículas que passavam em 

determinados pontos. As linhas brancas representam as linhas de emissão obtidas e 

o comportamento do fluido em um determinado instante de tempo. 



27 
 

Figura 8  – Padrão de linhas de emissão 
em torno de um objeto 

 

Fonte: White (2018, pg. 42). 

 

2.1.6.3 Gráficos vetoriais 

 

Çengel e Cimbala (2015, pg.149) definem os gráficos vetoriais como “uma 

matriz de setas que indicam o módulo e a direção de uma propriedade vetorial em 

determinado instante de tempo”. Na modelagem computacional, esse tipo de gráfico 

é muito útil e permite visualizar o comportamento de diversos campos, como o de 

velocidade e pressão, e identificar padrões, como a ocorrência de vorticidades e 

recirculação de fluido.  

Na Figura 9, é apresentado um exemplo de gráfico vetorial do comportamento 

da velocidade de um escoamento ao redor de um objeto cúbico.  

 

 

 

 

 

 

 

 



28 
 

Figura 9 – Gráfico vetorial da velocidade de 

um escoamento 

 
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, pg. 159). 

 

2.1.6.4 Gráficos de contorno 

 

Por definição, “o gráfico de contorno mostra as curvas de valor constante de 

uma propriedade escalar (ou módulo de uma propriedade vetorial) em determinado 

instante” (ÇENGEL; CIMBALA, 2007, pg. 119). Ou seja, eles são linhas traçadas em 

um instante de tempo, que conectam pontos da propriedade observada (pressão, 

temperatura, velocidade), que apresentam os mesmos valores (FIGURA 10). 

 

Figura 10 – Gráfico de contorno de uma 
distribuição de pressão 

 
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, pg. 151). 

 

 

 



29 
 

2.1.7 A dinâmica dos fluidos e suas leis governantes  

 

 A dinâmica dos fluidos pode ser descrita por três leis fundamentais, sendo elas: 

a conservação de massa, a conservação do momento, e a conservação da energia 

(WHITE, 2018). Ainda, conforme o autor, quando busca-se uma abordagem que 

ofereça informações das propriedades dos fluidos em diversos pontos distintos do 

escoamento, utiliza-se a abordagem diferencial, na qual todo o conjunto de equações 

é modelado através de um elemento diferencial de fluido. 

Durante o escoamento, um elemento de fluido pode estar sujeito a diferentes 

tipos de movimento e deformações (ÇENGEL; CIMBALA, 2007), sendo eles: 

translação (FIGURA 11.a), rotação (FIGURA 11.b), deformação linear (FIGURA 11.c) 

e deformação angular (FIGURA 11.d). 

 

Figura 11 – Movimentos e deformações de uma partícula 

 

Fonte: Çengel e Cimbala (2015, pg 152). 

 

2.1.7.1 A translação de uma partícula fluida 

 

 A translação, conforme Çengel e Cimbala (2015), está relacionada com a 

velocidade do escoamento, uma vez que a partícula de fluido se deslocará em função 

do campo de velocidades. Durante o escoamento, o fluido pode apresentar diferenças 

de velocidades devido a diversas situações, como a diminuição ou aumento do 

diâmetro de uma tubulação. Essas alterações ocorrem devido à aceleração aplicada 

ao fluido, em função da ação de alguma força sobre o escoamento. 

De acordo com Fox, Pritchard e McDonald (2014), devido à velocidade em um 

escoamento ser descrita por um campo, é necessário desenvolver uma equação que 

descreva sua aceleração de forma a manter as características de campo. Conforme 

descrito na sessão 2.1.3, o vetor velocidade pode ser denotado pela Equação 2, ou 

através das suas componentes escalares 𝑢, 𝑣, 𝑤, sendo que cada uma delas é uma 

função de x, y, z e t (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014), assim, obtêm-se a 

Equação 14, 



30 
 

 

                                                   �⃗� = 𝑢𝒊 + 𝑣𝒋 + 𝑤𝒌                                                   (14) 

 

 A aceleração, conhecida como a taxa de variação da velocidade pelo tempo, é 

descrita pela Equação 15, 

                                       𝑎 =  
𝑑𝑉

𝑑𝑡
= (𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑦
+𝑤

𝜕𝑉

𝜕𝑧
) +

𝜕𝑉

𝜕𝑡
                                       (15) 

 

na qual, o termo 
𝜕𝑉

𝜕𝑡
 é conhecido como aceleração local (FOX; PRITCHARD; 

MCDONALD, 2014, pg.168) e o termo entre parênteses é chamado pelos mesmos 

autores, de aceleração convectiva. 

 Na literatura, diversos autores (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014; 

RIEUTOURD, 2015) definem um operador comum ao escoamento dos fluidos, 

chamado usualmente de derivada material. Esse operador aparece com frequência 

em diversas equações, a exemplo da Equação 15, e é denotado pela Equação 16,  

 

                              
𝐷∅

𝐷𝑡
=  

𝜕∅

𝜕𝑡
+ (�⃗� . ∇)∅   =  

𝜕∅

𝜕𝑡
+ (𝑢

𝜕∅

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕∅

𝜕𝑦
+ 𝑤

𝜕∅

𝜕𝑧
)                                (16) 

 

na qual o termo ∅ representa alguma quantidade de interesse, e o termo (�⃗� . ∇)∅ é 

conhecido como termo convectivo. Conforme Rieutourd (2015), o termo convectivo é 

responsável pelo transporte de ∅ pelo campo de velocidades. 

 Assim, o vetor aceleração pode ser descrito pela Equação 17,  

 

                                                  
𝐷𝑉

𝐷𝑡
= 𝑎 ⃗⃗⃗  =  

𝜕𝑉

𝜕𝑡
+ (�⃗� . ∇)�⃗�   ,                                           (17) 

 

ou ainda, por se tratar de uma equação vetorial, pode ser escrita através de suas 

componentes escalares, conforme mostram as Equações 18, 19 e 20: 

 

                                   𝑎𝑥⃗⃗⃗⃗ =  
𝐷𝑢

𝐷𝑡
= (𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦
+𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧
) +

𝜕𝑢

𝜕𝑡
                                      (18) 

 

                                   𝑎𝑦⃗⃗ ⃗⃗ =  
𝐷𝑣

𝐷𝑡
= (𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦
+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧
) +

𝜕𝑣

𝜕𝑡
                                      (19) 

  



31 
 

                                  𝑎𝑧⃗⃗⃗⃗ =  
𝐷𝑤

𝐷𝑡
= (𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦
+𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧
) +

𝜕𝑢

𝜕𝑡
                                    (20) 

 

2.1.7.2 Rotação e vorticidade de partículas fluidas  

 

 Partículas fluidas em escoamentos podem girar em torno de seus eixos 

conforme se deslocam (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014). A taxa de rotação, 

conhecida como velocidade angular �⃗⃗� , pode ser representada em coordenadas 

cartesianas pela Equação 21. 

 

                                                    �⃗⃗� =  𝜔𝑥𝑖 + 𝜔𝑦𝑗 + 𝜔𝑧𝑘                                              (21) 

 

 Conforme Çengel e Cimbala (2007, pg. 120), a taxa de rotação para um eixo 

pode ser definida como a “taxa de rotação média de duas retas inicialmente 

perpendiculares que se cruzam nesse ponto”. Na Figura 12, é apresentado um 

exemplo dessa definição e é possível visualizar um elemento de fluido inicialmente 

retangular em que duas retas, a e b, se encontram no ponto P. Após ele se mover, 

ambas as retas apresentam deslocamento, devido à deformação e rotação. 

 

Figura 12 – Rotação de um elemento 
de fluido 

 
Fonte: Çengel e Cimbala (2015, pg. 152). 

  



32 
 

Dessa forma, através de manipulações algébricas, a velocidade angular no eixo 

z pode ser definida de acordo com a Equação 22: 

 

                                                      𝜔𝑧 =
1

2
(
𝜕𝑣

𝜕𝑥
−
𝜕𝑢

𝜕𝑦
)                                                       (22) 

 

 Assim, considerando todos os eixos, o vetor velocidade angular pode ser 

escrito conforme a Equação 23: 

 

                                �⃗⃗� =
1

2
[(
𝜕𝑤

𝜕𝑦
−
𝜕𝑣

𝜕𝑧
) 𝑖 + (

𝜕𝑢

𝜕𝑧
−
𝜕𝑤

𝜕𝑥
) 𝑗 + (

𝜕𝑣

𝜕𝑥
−
𝜕𝑢

𝜕𝑦
)𝑘]                                   (23) 

 

Pode-se perceber, na Equação 23, que ela é o resultado de um produto vetorial, 

conhecido como rotacional de �⃗�  (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014), 

representado pela notação: 

 

                                                                ∇ × �⃗�                                                             

 

Com ele, pode-se definir o vetor vorticidade como sendo duas vezes a 

velocidade angular (POTTER, WIGGERT; RAMADAN, 2012), representado pela 

Equação 24: 

 

                                                       𝜁 = 2ω = ∇ × �⃗�                                                    (24)  

  

 Dessa forma, os escoamentos podem ser classificados ainda como rotacionais 

ou irrotacionais. Em um escoamento rotacional, as partículas de fluido se movimentam 

enquanto giram em torno de si mesmas; e no escoamento irrotacional, elas se movem 

sem velocidade angular (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).  

 

2.1.7.3 Deformações de um elemento de fluido e o campo de tensões 

 

 Como mencionado anteriormente, as partículas fluidas estão sujeitas a dois 

tipos de deformações: a deformação linear e a deformação angular. Conforme Fox, 

Pritchard e McDonald (2014), quando uma partícula está sujeita a uma força 



33 
 

proveniente da gravidade ou do contato com outros elementos fluidos, esta pode ser 

decomposta de acordo com suas componentes. A componente perpendicular gera 

deformação linear, enquanto a componente tangencial gera deformação angular. 

 A taxa de deformação a qual o elemento de fluido está sendo submetido é um 

tensor (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2012) que pode ser descrito como: 

 

       𝑒𝑖𝑗 = (

𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑧
𝑒𝑦𝑥 𝑒𝑦𝑦 𝑒𝑦𝑧
𝑒𝑧𝑥 𝑒𝑧𝑦 𝑒𝑧𝑧

) =  

(

 
 

𝜕𝑢

𝜕𝑥

1

2
(
𝜕𝑢

𝜕𝑦
+
𝜕𝑣

𝜕𝑥
)

1

2
(
𝜕𝑢

𝜕𝑧
+
𝜕𝑤

𝜕𝑥
)

1

2
(
𝜕𝑣

𝜕𝑥
+
𝜕𝑢

𝜕𝑦
)

𝜕𝑣

𝜕𝑦

1

2
(
𝜕𝑣

𝜕𝑧
+
𝜕𝑤

𝜕𝑦
)

1

2
(
𝜕𝑤

𝜕𝑥
+
𝜕𝑢

𝜕𝑧
)

1

2
(
𝜕𝑤

𝜕𝑦
+
𝜕𝑣

𝜕𝑧
)

𝜕𝑤

𝜕𝑧 )

 
 

        (25) 

 

na qual as componentes 𝑒𝑥𝑥, 𝑒𝑦𝑦 e 𝑒𝑧𝑧 representam a deformação linear, e as outras 

seis componentes representam as deformações angulares em cada eixo. 

 Ainda, conforme Potter, Wiggert e Ramadan (2012), a taxa de deformação de 

uma partícula está relacionada com as componentes de tensão em um elemento de 

fluido. O conceito de tensões, normal e cisalhante, é útil para entender como as forças 

se distribuem nos planos de um elemento fluido (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 

2014). As nove componentes da tensão agindo e um elemento infinitesimal são: 

 

                                                  (

𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧

)                                                 

 

2.1.7.4 A equação da continuidade 

 

 De acordo com Çengel e Cimbala (2007, pg. 150), “a massa, assim como a 

energia, é uma propriedade conservada, e não pode ser criada nem destruída durante 

um processo”. Isso significa que, para um elemento de volume diferencial, a 

quantidade de matéria que entra nele deve ser equivalente à quantidade de matéria 

que o deixa. Essa relação pode ser expressa pela Equação 26: 

 

                                          
𝜕𝜌𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣

𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤

𝜕𝑧
+
𝜕𝜌

𝜕𝑡
= 0                                              (26) 

 



34 
 

 Reconhecendo o termo divergente na Equação 26, pode-se reescrevê-la 

conforme a Equação 27: 

 

                                                ∇. 𝜌�⃗� +
𝜕𝜌

𝜕𝑡
= 0                                                   (27) 

 

As Equações 26 e 27 são duas maneiras de representar a equação conhecida 

como “equação da continuidade” (WHITE, 2018, pg. 218).  

Conforme Fox, Pritchard e McDonald (2014), há duas situações em que a 

Equação 27 pode ser simplificada. A primeira delas é quando a massa específica (𝜌) 

é constante. Nesse caso, o fluido é considerado incompressível e a massa específica 

não é função do campo de velocidades ou do tempo. Dessa forma, a Equação 27 

passa a ser representada pela Equação 28: 

 

                                               
𝜕𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕𝑣

𝜕𝑦
+
𝜕𝑤

𝜕𝑧
= ∇. �⃗� = 0                                         (28)  

     

 Ainda, de acordo com os autores, o segundo caso ocorre quando o escoamento 

é permanente, ou seja, não depende do tempo. Dessa forma, o valor da massa 

específica será constante em um mesmo ponto, variando somente em pontos distintos 

do escoamento. Nesse caso, a equação da continuidade é representada pela 

Equação 29: 

 

                                 
𝜕𝜌𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣

𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤

𝜕𝑧
= ∇. 𝜌�⃗� = 0                                     (29) 

 

2.1.7.5 Quantidade de movimento e as equações de Navier-Stokes 

 

 Quando a direção ou velocidade de um elemento de fluido muda, é necessária 

a ação de uma força que promova tal mudança (DAUGHERTY; FRANZINI, 1965). De 

acordo com Fox, Pritchard e McDonald (2014), dois tipos de forças podem agir sobre 

um elemento fluido: as forças de superfície, provocadas pelo contato entre corpos, e 

as forças de campo, devido à ação de campos potências, como é o caso da gravidade. 



35 
 

 Analisando um elemento de fluido diferencial e aplicando a segunda Lei de 

Newton sobre ele, é possível obter as Equações 30, 31 e 32, que descrevem a 

quantidade de momento (WHITE, 2018). 

 

             𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥

𝜕𝑧
=  𝜌 (

𝜕𝑢

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦
+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧
)                         (30) 

 

                       𝜌𝑔𝑦 +
𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦

𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑦

𝜕𝑧
=  𝜌 (

𝜕𝑣

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦
+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧
)                           (31) 

 

                      𝜌𝑔𝑧 +
𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑥

𝜕𝑧
=  𝜌 (

𝜕𝑤

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦
+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧
)                        (32) 

 

As Equações 30, 31 e 32 são, conforme White (2018), as equações da 

quantidade de momento diferenciais que descrevem o comportamento de qualquer 

fluido. Nelas, observa-se que o lado esquerdo das equações possui termos 

relacionados à taxa de variação das tensões que podem ser simplificados e reescritos 

aplicando algumas considerações físicas. 

 Considerando o escoamento incompressível de um fluido Newtoniano, no qual 

a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação angular, que apresenta 

viscosidade constante (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014) como simplificações, 

as Equações 30, 31 e 32 podem ser reescritas em suas componentes cartesianas, 

conforme mostram as Equações 33, 34 e 35:  

 

               𝜌 (
𝜕𝑢

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦
+𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑥 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥
+ 𝜇 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢

𝜕𝑦
+
𝜕2𝑢

𝜕𝑧
)          (33)                                     

           

                     𝜌 (
𝜕𝑣

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦
+𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑦 −

𝜕𝑝

𝜕𝑦
+ 𝜇 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑣

𝜕𝑦
+
𝜕2𝑣

𝜕𝑧
)                        (34)  

   

             𝜌 (
𝜕𝑤

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑤

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑤

𝜕𝑦
+ 𝑤

𝜕𝑤

𝜕𝑧
) = 𝜌𝑔𝑧 −

𝜕𝑝

𝜕𝑧
+ 𝜇 (

𝜕2𝑤

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑤

𝜕𝑦
+
𝜕2𝑤

𝜕𝑧
)                      (35) 

 

 As Equações 33, 34 e 35 são conhecidas como Equações de Navier-Stokes, 

consideradas como “a pedra fundamental da mecânica dos fluidos” (ÇENGEL; 

CIMBALA, 2007, pg. 373). Essas três equações, juntamente com a equação da 



36 
 

continuidade, descrevem muitas situações interessantes para fluidos viscosos, como 

o escoamento em tubulações e outras aplicações industriais (WHITE, 2018; FOX; 

PRITCHARD; MCDONALD, 2014). 

 Por fim, as três equações podem ser escritas em sua forma vetorial, conforme 

mostra a Equação 36: 

 

                             𝜌
𝐷�⃗⃗� 

𝐷𝑡
= 𝜌 [

𝜕�⃗⃗� 

𝜕𝑡
+ (�⃗� . ∇⃗⃗ )�⃗� ] = − ∇⃗⃗ 𝑃 + 𝜌𝑔 + 𝜇∇⃗⃗ 2�⃗�                                    (36)      

   

2.1.7.5 A função de corrente para escoamentos 

 

 Para um escoamento bidimensional, é útil utilizar-se de uma única 

função 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑡), que represente as componentes 𝑢 e 𝑣 da velocidade, sendo ela 

chamada de Função de corrente 𝜓 (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 2014). 

  Ela é uma representação matemática que descreve um campo de escoamento 

e está relacionada com as linhas de corrente que são tangentes à velocidade do fluido 

em todos os pontos do domínio de representação, pois, conforme White (2018), dada 

uma linha de corrente, a função ψ assume um valor constante ao longo dela. 

 Dessa forma, as componentes da velocidade em um escoamento bidimensional 

podem ser representadas pela Equação 37: 

 

                                                  𝑢 =  
𝜕𝜓

𝜕𝑦
,      𝑣 =  

𝜕𝜓

𝜕𝑥
                                        (37)  

               

2.2 Modelagem numérica e simulações computacionais 

 

 A dinâmica dos fluidos, assunto abordado na seção 2.1, trata do escoamento 

de fluidos, os quais, considerando fluidos Newtonianos e incompressíveis, podem ser 

modelados pelas Equações 38, 39 e 40, apresentadas a seguir: 

 

Continuidade:                           
𝜕𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕𝑣

𝜕𝑦
+
𝜕𝑤

𝜕𝑧
= ∇. �⃗� = 0                                          (38) 

   

Momento:                          𝜌
𝐷�⃗⃗� 

𝐷𝑡
= − ∇⃗⃗ 𝑃 + 𝜌𝑔 + 𝜇∇⃗⃗ 2�⃗�                                          (39) 

 



37 
 

Energia:                                     𝑝𝑐𝑣
𝑑𝑇

𝑑𝑡
=  𝑘 ∇⃗⃗ 2𝑇 + Φ                                                 (40)     

             

 As equações de Navier-Stokes, escritas em sua forma vetorial na Equação 39, 

são equações diferenciais parciais (EDPs), não lineares, que possuem solução 

analítica somente para problemas muito simples (FORTUNA, 2012). Além disso, a 

Equação 39 é uma equação vetorial acoplada (FOX; PRITCHARD; MCDONALD, 

2014), ou seja, as componentes da velocidade e a pressão aparecem nas três 

equações (Equações 33, 34 e 35) quando ela é expressa em forma de componentes 

escalares, e precisam ser resolvidas simultaneamente. 

 A dinâmica dos fluidos computacional (CFD) surgiu com o advento da 

computação (FORTUNA, 2012), sendo utilizada para resolver problemas complexos 

(MALISKA, 2014) envolvendo as equações de Navier-Stokes ou outras equações 

pertinentes. Para tanto, é necessário realizar a discretização das equações 

governantes e aplicar diferentes métodos numéricos, fazendo uso de códigos 

computacionais, para obter informações sobre os campos de velocidade, pressão e 

temperatura do escoamento. 

 

2.2.1 A forma genérica das equações de transporte 

 

 As equações abordadas no tópico anterior estão relacionadas à conservação 

de uma variável de interesse (massa, momento ou energia) e apresentam uma escrita 

muito similar que, de acordo com Patankar (2009), pode ser generalizada pela 

Equação 41: 

 

                                         
𝜕

𝜕𝑡
(𝜌𝜙) + ∇(𝜌�⃗� 𝜙) = ∇(Γ Δ 𝜙) + 𝑆                                       (41) 

 

 Conforme o autor, 𝜙 representa a variável dependente e pode assumir 

diferentes formas, como a velocidade ou a temperatura, enquanto os parâmetros Γ e 

𝑆 assumem diferentes significados, de acordo com o termo 𝜙. 

Na Equação 41, o primeiro termo do lado esquerdo representa a variação no 

tempo da quantidade escolhida, enquanto o segundo termo representa a convecção 

através do volume de controle. Já o primeiro termo do lado direito está relacionado 

com a difusão da propriedade, e o último é o termo fonte, que é introduzido para definir 



38 
 

termos remanescentes que não estão inclusos nessa equação (MALISKA, 2014; 

PATANKAR, 2009). 

 Versteeg e Malalasekera (2007) sugerem uma variação da Equação 41 para 

volumes de controle na forma integral, apresentada na Equação 42: 

 

                    
𝜕

𝜕𝑡
(∫ 𝜌𝜙𝑑𝑉
𝐶𝑉

) + ∫ 𝒏.
𝐴

(𝜌�⃗� 𝜙)𝑑𝐴 = ∫ 𝒏.
𝐴

(Γ∆𝜙)𝑑𝐴 + ∫ 𝑆𝑑𝑉
𝐶𝑉

                  (42) 

 

na qual o primeiro termo do lado esquerdo representa a taxa de incremento da 

quantidade 𝜙 dentro do volume de controle e o segundo termo representa a variação 

líquida de 𝜙 devido à convecção através dos limites do volume de controle. Já do lado 

direito, o primeiro termo representa o aumento líquido da quantidade 𝜙 devido à 

difusão através das superfícies do volume de controle e o segundo termo representa 

a geração líquida de 𝜙 dentro dele. 

 Ainda, conforme os autores, ambas as equações são os primeiros passos para 

a utilização do Método dos Volumes Finitos, que será abordado nas próximas seções. 

 

2.2.2 Métodos numéricos e a discretização do domínio 

 

Os métodos numéricos são ferramentas aplicadas para problemas em que a 

solução analítica é difícil ou impossível de ser encontrada, sendo necessária a 

utilização de operações aritméticas, tais quais equações algébricas, para obter 

soluções aproximadas (BRASIL; BALTHAZAR; GÓIS, 2015; CHAPRA; CANALE, 

2016; FORTUNA, 2012). 

 Para tornar as soluções numéricas possíveis, é necessário transformar o 

domínio contínuo em um domínio discreto através de um processo chamado de 

discretização (BRASIL; BALTHAZAR; GÓIS, 2015). Enquanto o domínio contínuo 

consiste de infinitos pontos (FIGURA 13), o domínio discreto consiste em uma série 

de pontos interligados, formando uma malha, nos quais as soluções das equações 

algébricas serão resolvidas. 

 
 
 
 
 
 



39 
 

Figura 13 – Domínio contínuo x domínio discreto 

 
Fonte: Fortuna (2012, pg. 37). 

  

Conforme Maliska (2014), os métodos numéricos tradicionalmente utilizados na 

resolução de problemas que envolvam equações diferenciais, como as EDPs, são o 

Método dos Elementos Finitos (MEF), o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o 

Método dos Volumes Finitos (MVF), sendo que os dois últimos, os mais utilizados na 

dinâmica dos fluidos computacionais, serão abordados nas próximas seções. 

 

2.2.2.1 Método das diferenças finitas (MDF) 

  

Conforme mencionado na seção anterior, a solução de EDPs por meio de 

métodos numéricos envolve a discretização do espaço contínuo em uma série de 

pontos distribuídos pela região, sendo que estes pontos podem estar distribuídos 

igualmente (FIGURA 13) ou de maneira não uniforme (FIGURA 14).  

 

Figura 14 – Exemplo de uma malha 2d não uniforme 

 

Fonte: Ferziger e Peric (2002, pg. 40). 

  



40 
 

O método das diferenças finitas faz uso da expansão da série de Taylor 

(PATANKAR, 2009; FORTUNA, 2012) para obter aproximações das equações 

diferenciais na sua forma algébrica para cada um dos pontos da região discretizada, 

gerando assim, um conjunto de expressões algébricas com uma quantidade finita N 

de parâmetros desconhecidos, os quais precisam ser resolvidos. 

 Conforme Fortuna (2012), a série de Taylor para uma função 𝑓 contínua em um 

dado intervalo pode ser escrita de acordo com a Equação 43, 

 

                      𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (∆𝑥)
𝑑𝑓

𝑑𝑥
|
𝑥0
+
(∆𝑥)2

2!

𝑑2𝑓

𝑑𝑥2
|
𝑥0
+
(∆𝑥)3

3!

𝑑3𝑓

𝑑𝑥3
|
𝑥0
+ 𝑅𝑛,                  (43) 

 
na qual, ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0  representa a distância entre dois pontos na malha, e 𝑅𝑛 são os 

termos de maior ordem. 

 Considere a Figura 15, que representa um conjunto de pontos igualmente 

espaçados no espaço unidimensional. Se a série de Taylor for aplicada no ponto 𝑥𝑖, é 

possível obter uma aproximação da primeira derivada de 𝑓 através de algumas 

manipulações algébricas. 

 

Figura 15 – Representação de uma malha unidimensional 

 
Fonte: Fortuna (2012, pg. 83). 

 

Dentre outras expressões possíveis de serem obtidas através desse processo, 

encontram-se as expressões das diferenças finitas centrais de primeira e segunda 

ordem da função 𝑓 (FORTUNA, 2012), sendo elas: 

 

- Diferenças centrais de primeira ordem:    
𝜕𝑓

𝜕𝑥
|
𝑖
= 

𝑓𝑖+1−𝑓𝑖−1

2∆𝑥
+ 𝑂(∆𝑥)2                       (44) 

 

- Diferenças centrais de segunda ordem:   
𝜕𝑓

𝜕𝑥
|
𝑖
= 

𝑓𝑖+1−2𝑓𝑖+𝑓𝑖−1

(∆𝑥)2
+ 𝑂(∆𝑥)2                 (45) 

 

nas quais o termo 𝑂(∆𝑥)2 representa os termos restantes da série de Taylor que foram 

omitidos, que, de acordo com Ferziger e Peric (2002), são chamados de erros de 



41 
 

truncamento e medem a precisão da aproximação em relação ao espaçamento ∆𝑥 

entre os pontos considerados. 

 

2.2.2.2 Método dos volumes finitos (MVF) 

 

 Da mesma forma que o Método das Diferenças Finitas, o Método dos Volumes 

Finitos parte da geração da malha numérica. Porém, diferentemente do MDF, no MVF 

é gerada uma malha composta por pequenos volumes de controle, centrados em torno 

dos nós (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007; FORTUNA, 2012), conforme mostra 

a Figura 16. 

 

Figura 16 – Representação do Método dos Volumes de Controle 
Unidimensional 

  

Fonte: Fortuna (2012, pg. 120). 

  

No MVF, conforme Patankar (2009), Versteeg e Malalasekera (2007), são 

realizadas integrações das equações governantes em cada volume de controle, 

resultando em um grupo de equações algébricas discretizadas no espaço e tempo, 

que devem ser resolvidas de modo a se obter a distribuição da propriedade avaliada. 

Assim, conforme os mesmos autores, o processo de integração representa um 

balanço da propriedade considerada em cada volume de controle. Para Ferziger e 

Peric (2002), uma das maiores vantagens do MVF é que as propriedades do sistema 

são conservadas em escala global, uma vez elas estão implícitas na estrutura do 

método. Fortuna (2012) complementa que, além da fácil interpretação física das 

equações obtidas, o MVF é muito útil quando necessária a utilização de malhas não 

uniformes. 

 



42 
 

2.2.3 Tipos de malhas numéricas 

 

 A malha numérica gerada na etapa de discretização depende do domínio que 

está sendo discretizado e do tipo de problema estudado, sendo que cada tipo de 

malha apresenta suas características próprias, bem como vantagens e desvantagens 

(MALISKA, 2014).  

 O tipo de malha mais comum é a malha estruturada (FIGURA 17), na qual cada 

elemento fluido apresenta o mesmo número de elementos vizinhos (MALISKA, 2014; 

FERZIGER; PERIC, 2002). A estrutura geométrica depende do problema, podendo 

ser composta apenas de elementos cartesianos ou ser mista, contendo coordenadas 

cilíndricas e cartesianas, para se adaptar à geometria do problema. 

 
Figura 17 – Exemplo de malha estruturada mista 

 

Fonte: Ferziger e Peric (2002, pg. 27). 

  

Para geometrias complexas, é necessária a implementação de outros tipos de 

malhas, sendo uma delas a malha estruturada em blocos. Nesse tipo de malha, 

conforme Versteg e Malalasekera (2007), o domínio é dividido em sub-regiões, as 

quais apresentam malhas estruturadas próprias (FIGURA 18). Dessa forma, é 

possível priorizar regiões nas quais uma maior resolução é necessária com malhas 

mais refinadas. 

 

 

 

 

 

 

 



43 
 

Figura 18 – Exemplo de uma malha estruturada 
em blocos 

 

Fonte: Versteeg e Malalasekera (2007, pg. 310). 

  

Por fim, existe a opção da geração de malhas não estruturadas (FIGURA 19) 

que, de acordo com Ferziger e Peric (2002), são o tipo de malha mais flexível e podem 

representar a geometria de qualquer domínio. Esse tipo de malha faz uso de diferentes 

tipos de geometria, e diferente do método estruturado, cada elemento de volume pode 

apresentar diferentes quantidades de elementos vizinhos (MALISKA, 2014). 

 

Figura 19 – Exemplo de malha não estruturada 

 
Fonte: Versteeg e Malalasekera (2007, pg. 311). 

 

 

 



44 
 

2.2.4 Condições iniciais e de contorno 

 

 Conforme Fortuna (2012), as condições de contorno desempenham um papel 

fundamental em modelagens que envolvam as EDPs, pois são elas que ditam o 

comportamento físico dos problemas modelados. O mesmo vale para os problemas 

transientes, nos quais é de fundamental importância especificar o valor inicial das 

variáveis observadas em todos os pontos do domínio (VERSTEEG; 

MALALASEKERA, 2007), uma vez que a evolução temporal se dará a partir desses 

valores. 

 As condições de contorno são aplicadas aos diversos tipos de fronteiras 

encontradas no domínio de simulação. Conforme os autores citados anteriormente, 

elas geralmente são: fronteiras de entrada do fluido, paredes sólidas, fronteiras de 

simetria, fronteiras periódicas, fronteiras de pressão constante e fronteiras de saída 

do fluido. Cabe ressaltar que elas recebem esses nomes devido à região nas quais 

são aplicadas. 

Moukalled, Mangani e Darwish (2016) comentam que existem diversos tipos de 

condições de contorno, como as citadas anteriormente, e, de modo genérico, há dois 

tipos que são mais utilizados para variáveis genéricas, a saber: condição de contorno 

de Dirichlet, para a qual um valor fixo é definido para a variável em uma determinada 

região; e a condição de contorno de Neumann, para a qual um fluxo é especificado 

para a região.  

A Figura 20 ilustra as principais condições de fronteiras encontradas durante a 

modelagem numérica. 

 

Figura 20 – Representação das condições de fronteira 

  
Fonte: Fortuna (2012, pg.289). 



45 
 

É importante ressaltar que, conforme Fortuna (2012), as regiões de fronteira, 

como entradas e saídas de fluido, devem estar localizadas a uma certa distância das 

áreas que são o foco da simulação para reduzir a sua interferência sobre tal região. 

 

2.2.5 O acoplamento Pressão-velocidade e os tipos de arranjo das variáveis  

  

Durante o processo de discretização, duas situações relacionadas ao gradiente 

de pressão presente nas equações de Navier-Stokes merecem um tratamento 

especial. Primeiramente, existe o problema do acoplamento entre a pressão e a 

velocidade. Considerando as Equações 33 e 34, reescritas novamente aqui somente 

duas dimensões, tem-se:  

 
- momento na direção x: 

 

                            𝜌 (
𝜕𝑢

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦
) = 𝜌𝑔𝑥 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥
+ 𝜇 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢

𝜕𝑦
)                      (46)     

                              

- momento na direção y: 

 

                                    𝜌 (
𝜕𝑣

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦
) = 𝜌𝑔𝑦 −

𝜕𝑝

𝜕𝑦
+ 𝜇 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑣

𝜕𝑦
)                            (47) 

  
- equação da continuidade: 

 

                                         
𝜕𝜌𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣

𝜕𝑦
= 0                                                   (48) 

 

 É possível perceber, observando as Equações 46 a 48, que elas são acopladas, 

ou seja, as componentes de velocidade aparecem simultaneamente nas três 

equações, enquanto o termo que representa a variação da pressão aparece somente 

nas Equações 46 e 47 (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). Caso o campo de 

pressões seja conhecido, é necessário somente a aplicação de um processo iterativo 

para a evolução das velocidades no tempo, no qual cada uma das componentes da 

velocidade pode ser atualizada por sua respectiva equação do movimento (MALISKA, 

2014). 



46 
 

 O problema surge quando o campo de pressões não é conhecido e se faz 

necessário, também, uma equação para avançar a pressão. Ocorre que, conforme 

Maliska (2014), em problemas incompressíveis a pressão não possui uma equação 

evolutiva que forneça os valores corretos para o próximo passo de tempo e que, 

quando utilizados nas equações do movimento, forneçam componentes de velocidade 

que satisfaçam a equação da continuidade. 

 Uma solução para esse problema, é a utilização de algoritmos da família 

SIMPLE (Semi Implicit Linked Equations). Nesse algoritmo, conforme Rieutourd 

(2015) as equações de Navier-Stokes são reformuladas para a criação de uma 

equação para o momento, e outra, em conjunto com a equação da continuidade, para 

a pressão.  

As duas equações são resolvidas sequencialmente, em um processo iterativo 

no qual o campo de velocidades atual é obtido aplicando-se o campo de pressão do 

passo anterior. O novo campo de velocidades é utilizado, então, para se obter o novo 

campo de pressões. Esse processo é repetido até que ambos os campos de pressão 

e velocidades satisfaças as equações de momento e da continuidade. 

 Além da questão do acoplamento entre pressão e velocidades, o local onde as 

informações relativas a pressão e as velocidades serão armazenadas também é 

importante. Para problemas utilizando sistemas ortogonais, dois modos diferentes são 

mais empregados, sendo eles o arranjo colocalizado e o desencontrado. 

 No arranjo colocalizado, todas as variáveis são armazenadas no centro do 

mesmo volume de controle (MALISKA, 2014), conforme mostra a Figura 21. 

 

Figura 21 – Arranjo colocalizado unidimensional. 

 
Fonte: Adaptado de Moukalled, Mangani e Darwish. (2016, pg 564). 

 

Conforme Maliska (2014) e Patankar (2009), o problema do arranjo 

colocalizado está no gradiente de pressão.  Discretizando o gradiente de pressão no 

volume de controle Pc, pintado de azul na Figura 21, obtêm-se a Equação 49: 

 

                                                
𝑑𝑃

𝑑𝑥
 ≈

𝑃𝑒− 𝑃𝑤

∆𝑥
                                                        (49) 



47 
 

 

Na qual, 𝑃𝑒 representa a pressão na face leste do volume de controle e 𝑃𝑤 na 

face oeste. Esses dois termos precisam ser aproximados, por meio da média do valor 

da pressão entre dois pontos nodais, conforme mostra a Equação 50: 

 

                                         
𝑃𝑒− 𝑃𝑤

∆𝑥
= 

(
𝑃𝐸+𝑃𝑃

2
)−(

𝑃𝑃+𝑃𝑊
2

)

∆𝑥
= 

𝑃𝐸− 𝑃𝑊

2∆𝑥
                                   (50) 

 

Dessa forma, observa-se pela Equação 50, que o gradiente de pressão 

utilizado na equação do momento será entre dois pontos alternados da malha, e não 

entre dois pontos consecutivos, uma vez que a pressão no nó central, 𝑃𝐶, não aparece 

na equação (PATANKAR, 2009), o que, de acordo com os autores, pode trazer alguns 

problemas.  

Caso um campo de pressões oscilatório ou não uniforme ocorra, tal situação 

pode não ser sentida pelo gradiente de pressões obtido na Equação 50, sendo 

considerado por esta como um campo uniforme de pressão, resultando em um 

comportamento não condizente com a realidade (MALISKA, 2014; PATANKAR, 2009; 

VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). 

 Uma possível solução para esse problema é a utilização de outro arranjo para 

o armazenamento das variáveis. Um deles é o chamado arranjo desencontrado. 

Nesse arranjo, são utilizados diferentes volumes de controle para cada uma das 

variáveis, que são armazenadas nos seus respectivos centros. 

 Na Figura 22, está representado esse tipo de arranjo, para o qual os volumes 

de controle (VC) das componentes de velocidade 𝑢 e 𝑣 foram deslocados e estão 

centrados nas faces dos volumes de controle nos quais estão armazenadas as 

pressões. Cada uma das três variáveis, então, possui seu próprio volume de controle, 

indicado em azul na Figura 22, e as pressões passam a estar localizadas nas faces 

dos VC das componentes de velocidade. 

 
 
 
 
 
 
 
 



48 
 

Figura 22 – Representação do arranjo desencontrado. 

 
Fonte: Adaptado de Moukalled, Mangani e Darwish. 

(2016, pg 578). 

 
Dessa forma, a discretização das equações do momento é realizada para os 

volumes de controle das componentes de velocidades 𝑢 e 𝑣. Assim, o gradiente de 

pressões será dado pelas pressões armazenadas nas faces dos volumes de controle 

das velocidades, e o problema do comportamento não realistico do campo de 

pressões é resolvido (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). 

 

2.2.6 Esquemas de Interpolação dos termos difusivos e convectivos 

 

 Ainda na etapa de discretização das equações de Navier-Stokes, depara-se 

com outra situação além do gradiente de pressões. Durante o processo de integração, 

a aproximação das derivadas envolve valores de variáveis que não estão definidas 

nos centros dos volumes de controle (FERZIGER; PERIC, 2002), como foi o caso 

observado para a aproximação feita na Equação 50, durante a avaliação do gradiente 

de pressões. Nesses casos, é necessária a interpolação das variáveis para se obter 

as aproximações desejadas. 



49 
 

 Considerando somente os termos convectivos e difusivos da equação de 

transporte, escrita para uma dimensão, tem-se a Equação 51: 

 

                                            
𝑑

𝑑𝑥
(𝜌𝑢𝜙) =  

𝑑

𝑑𝑥
(Γ

𝑑𝜙

𝑑𝑥
)                                      (51) 

 

Pode-se integrar a Equação 51 em relação ao volume de controle centrado em 

P, apresentado na Figura 23. Assim, a integral será limitada pelas faces leste (e) e 

oeste (w) do VC, nas quais serão resolvidas as equações. 

 

Figura 23 – Volume de controle unidimensional para 
integração 

 
Fonte: Versteeg e Malalasekera (2007, pg. 135). 

 

A integração resulta na Equação 52: 

 

                                   (𝜌𝑢𝜙)𝑒 − (𝜌𝑢𝜙)𝑤 = (Γ
𝑑𝜙

𝑑𝑥
)
𝑒
− (Γ

𝑑𝜙

𝑑𝑥
)
𝑤

                                   (52) 

 

Na qual, os termos do lado esquerdo da equação representam o fluxo 

convectivo da quantidade 𝜙 através do volume de controle, e os termos do lado direito 

representam o fluxo difusivo. Se faz necessário, nesse ponto, a utilização de 

diferentes esquemas de interpolação, a serem utilizados tanto para os termos 

convectivos quanto para os termos difusivos. 

Existe uma vasta gama de funções de interpolação na literatura, sendo que 

nesta seção serão apresentados apenas alguns esquemas, indicados por Patankar 

(2009), para situar o leitor a respeito dos métodos que serão utilizados na metodologia. 

 

 

 

 



50 
 

2.2.6.1 O esquema das diferenças centrais 

 

No esquema de diferenças centrais (CDS) são utilizados somente dois pontos 

nodais, conforme mostra a Equação 44, apresentada na seção 2.2.2.1. Dessa forma, 

aplicando-o na Equação 52, obtêm-se: 

 

                             𝜌𝑢
(𝜙𝐸+𝜙𝑃)

2
−  𝜌𝑢

(𝜙𝑃+𝜙𝑊)

2
=  Γ

(𝜙𝐸−𝜙𝑃)

Δ𝑋
− Γ

(𝜙𝑃−𝜙𝑊)

Δ𝑋
                             (53) 

 

Os termos presentes na Equação 53 podem ser rearranjados conforme mostra 

a Equação 54: 

 

                                                    𝐴𝑃𝜙𝑃 = 𝐴𝑒𝜙𝐸 + 𝐴𝑤𝜙𝑊                                                       (54) 

 

Na qual os termos “A” representam os coeficientes calculados das faces e no 

centro do volume de controle, e os termos 𝜙 representam a propriedade avaliada nos 

respectivos pontos nodais.  

Cabe ressaltar que a metodologia seguida até aqui, inclusive a notação 

utilizada para representar os termos nas equações e suas respectivas orientações é 

um padrão seguido na literatura.  

Os coeficientes abreviados na Equação 54 são dados pelas equações a seguir: 

 

       𝐴𝑃 = 
2Γ

Δ𝑥2
                                                           (55) 

 

  𝐴𝑒 = −
𝜌𝑢

2Δ𝑥
+

Γ

Δ𝑥2
                                                 (56) 

 

   𝐴𝑤 = 
𝜌𝑢

2Δ𝑥
+

Γ

Δ𝑥2
                                                    (57) 

 

De acordo com Maliska (2014), deseja-se sempre que os coeficientes 

representados pelas Equações 55, 56 e 57 sejam positivos, uma vez que a presença 

de coeficientes negativos pode levar a solução a divergir, dependendo do processo 

iterativo utilizado. Ainda, conforme o autor, dependendo do problema estudado, a 

aplicação do CDS para os termos convectivos pode criar instabilidades que geram 

soluções oscilatórias e não realistas. 



51 
 

Nesse ponto, se faz necessário a apresentação de uma nova constante 

adimensional, conhecida como Número de Peclet, que, conforme Moukalled, Mangani 

e Darwish (2016), representa uma razão entre a taxa convectiva e difusiva de 

transporte da propriedade 𝜙. Ele é escrito como: 

 

    𝑃 =
ρuΔx

Γ
                                                     (58) 

 

Na qual, Δx representa o comprimento característico do volume de controle na 

direção considerada, 𝑢 é a velocidade na face em que está sendo calculado o número 

de Peclet, Γ é uma constante dependente da variável usada na Equação de 

Transporte, e ρ é a densidade do fluido. 

Assim, no caso do esquema de diferenças centrais, pode se mostrar que o 

número de Peclet precisa ser menor ou igual a 2 para que o coeficiente da face leste 

(Equação 56) seja positivo. Isso coloca outra restrição para a utilização do CDS nos 

termos convectivos, pois, para manter o número de Peclet menor que dois, é preciso 

de uma malha muito refinada quando são utilizadas velocidade elevadas.  

 

2.2.6.2 O esquema upwind 

  

 O esquema upwind (UDS) é uma solução para evitar o aparecimento de 

coeficientes negativos. Ele é mais compatível com o processo convectivo e imitia a 

física do problema, na qual o valor dos coeficientes convectivos na face dos volumes 

de controle depende da direção na qual o fluido está se movimentando (MOUKALLED; 

MANGANI; DARWISH, 2016). 

 Simplificadamente, pode-se dizer que para os termos convectivos, presentes 

no lado esquerdo da Equação 52, o valor de 𝜙 nas faces será igual a um dos valores 

de 𝜙 nos centros dos volumes de controle adjacentes, dependendo da direção do fluxo 

convectivo naquele instante. Por exemplo, considerando a face leste (e) do volume de 

controle da Figura 23: 

 

  𝜙𝑒 = 𝜙𝑃       𝑠𝑒      𝜌𝑢 > 0                                                 (59a) 

 
Ou 

 



52 
 

  𝜙𝑒 = 𝜙𝐸       𝑠𝑒       𝜌𝑢 <  0                                                 (59b) 

 

 Por mais interessante que seja esse esquema, uma de suas desvantagens e 

que ele pode causar a dissipação numérica de gradientes elevados em alguns 

problemas (MALISKA, 2014). 

 Com base dois esquemas apresentados, existem outras funções de 

interpolação que incorporam o CDS e UDS e fazem uso do número de Peclet como 

um peso entre convecção e difusão. Um desses esquemas, apresentado por Patankar 

(2009), será demostrado a seguir. 

 

2.2.6.3 O esquema Power-law 

 

 De acordo com Patankar (2009), o esquema Power-Law fornece uma melhor 

aproximação dos coeficientes calculados nas faces dos volumes de controle com a 

variação do número de Peclet, além de não apresentar expressões difíceis de serem 

computadas quando comparado a outros esquemas. Considerando o coeficiente 𝐴𝑒, 

apresentado anteriormente na Equação 56. Ele agora assume novos valores, 

apresentados a seguir: 

 

Para 𝑃𝑒 < −10, 

 

                                             𝐴𝑒 =  
Γ

Δ𝑥
∗ −𝑃𝑒 = − 𝜌𝑢𝑒                               (60a) 

 

Para −10 ≤ 𝑃𝑒 < 0, 

 

                    𝐴𝑒 = 
Γ

Δ𝑥
∗ (1 + 0.1𝑃𝑒)

5 −
Γ

Δ𝑥
∗ 𝑃𝑒 = 

Γ

Δ𝑥
∗ (1 + 0.1𝑃𝑒)

5 − 𝜌𝑢𝑒             (60b) 

 

Para 0 ≤ 𝑃𝑒 ≤ 10, 

         

                                           𝐴𝑒 = 
Γ

Δ𝑥
∗ (1 + 0.1𝑃𝑒)

5,                                  (60c) 

 

Para 𝑃𝑒 > 10, 

 



53 
 

                                                    𝐴𝑒 = 0.                                               (60d) 

 

 O mesmo procedimento pode ser adotado para avaliar o coeficiente nas demais 

faces do volume de controle.   

 De acordo com Patankar (2009), o esquema power law é um esquema de 

interpolação no qual estão embutidos os esquemas CDS e UDS e que utiliza o número 

de Peclet como parâmetro para definir qual a situação do escoamento. Dessa forma, 

para valores de Peclet superiores a |10|, quando o termo convectivo é muito superior 

ao difusivo, predomina o fluxo convectivo pela face do volume de controle, como se 

pode ver nas Equações 60a e 60d. Para valores menores que |10|, ocorre uma mescla 

entre difusão e convecção (EQUAÇÕES 60b e 60c), e para valores de Peclet iguais a 

zero, quando o fluido está em repouso, ocorre somente a difusão. 

 

2.2.7 Solução das equações discretizadas 

 

 Uma vez discretizado o domínio do problema e obtidas as equações algébricas 

correspondentes aos diversos pontos gerados, é necessário realizar o processo de 

resolução do sistema de equações, afim de se obter os valores da variável estudada 

nas diversas regiões da malha numérica.  

Os métodos utilizados para a solução das equações algébricas obtidas podem 

ser divididos em duas categorias: Os métodos diretos e os métodos iterativos. 

Conforme Fortuna (2012), com a aplicação dos métodos diretos obtêm-se a solução 

dos sistemas lineares após uma sequência limitada de passos. Como os sistemas 

lineares são escritos em notação matricial, pode-se utilizar técnicas de transformações 

que facilitem a resolução. Um exemplo de método direto é a eliminação de Gauss e a 

obtenção da matriz inversa. 

 Porém, os métodos diretos não são utilizados com frequência na dinâmica dos 

fluidos computacional, uma vez que as matrizes são geralmente muito grandes, o que 

os torna impraticáveis devido ao tempo e custos envolvidos (MOUKALLED; 

MANGANI; DARWISH, 2016; FERZIGER; PERIC, 2002). 

 Já os métodos iterativos fazem uso de estimativas iniciais, que são aplicadas 

aos sistemas de equações e então refinadas, sendo repetido o processo até o critério 

de convergência adotado ser aceito (MOUKALLED; MANGANI; DARWISH, 2016). 



54 
 

 De acordo com Ferziger e Peric (2002) e Fortuna (2012), o sistema de 

equações algébricas obtido na etapa de discretização pode ser tanto linear quanto 

não linear, sendo este último resolvido somente pelos métodos iterativos, o que 

evidencia uma das vantagens de sua utilização. 

 Maliska (2014) apresenta diversos métodos iterativos, sendo alguns deles: 

Método de Jacobi, Método de Gauss-Seidel, Método das Sobrerrelaxações 

Sucessivas, Método Linha a Linha, dentre outros. 

 

2.3.6 Propriedades da solução numérica 

 

 Uma boa solução numérica para um problema envolvendo Equações 

Diferenciais Parciais deve apresentar algumas características que garantam que ela 

seja estável e convergentes (MALISKA, 2014), sendo elas: 

 Consistência: Uma aproximação numérica é dita consistente quando, ao tornar 

os intervalos da malha numérica cada vez menores, de modo que eles tendam a zero, 

ela se torne a equação parcial original, ou seja, nesse processo, os erros de 

truncamento devem tender a zero (FORTUNA, 2012; MALISKA, 2014; FERZIGER; 

PERIC, 2002). 

 Estabilidade: Para a solução numérica ser considerada estável, os erros que 

ocorrem durante o processo não devem se amplificar durante o processo de resolução 

(FERZIGER; PERIC, 2002). De acordo com Fortuna (2012), exemplos de erros 

comuns são erros de arredondamento que podem acumular e influenciar 

significativamente nos resultados obtidos, bem como a escolha incorreta de condições 

de fronteira e iniciais. 

 Convergência: Conforme Maliska (2014), caso as condições de estabilidade e 

consistência sejam atendidas, a solução numérica é dita convergente, ou seja, os 

resultados obtidos por meio dela são boas aproximações das soluções reais. 

 A Figura 24 apresenta a relação das três propriedades comentadas 

anteriormente. 

 

 

 

 

 
 



55 
 

Figura 24 – Propriedades de uma solução numérica 

 

Fonte: Fortuna (2012, pg. 135). 

 

 



56 
 

3 METODOLOGIA 

 

 

 Este capítulo apresenta, inicialmente, a classificação do presente estudo e 

depois aborda a metodologia seguida para desenvolver o código numérico, bem 

como, apresenta o processo de discretização das equações governantes e demais 

etapas que culminaram na criação do algoritmo computacional, objetivos deste 

estudo. 

 

3.1 Classificação  

 

 A presente pesquisa é de natureza quantitativa, pois, de acordo com Chemin 

(2015), ela trata de dados matemáticos que pretendem ser obtidos de maneira clara 

e rigorosa, com a maior precisão possível. Do ponto de vista do objetivo geral, ela 

pode ser classificada como descritiva explanatória, pois o aluno tem interesse em se 

familiarizar com o a situação problema, bem como obter dados e descrever um 

determinado fenômeno. Além disso, ela pode ser classificada também como 

bibliográfica, uma vez que foram utilizadas informações obtidas na literatura específica 

para desenvolvimento do código numérico. 

 

3.2 Etapas de elaboração do código computacional   

 

 A seguir, serão descritas as etapas metodológicas seguidas para a 

implementação do código numérico. 

 



57 
 

3.2.1 Delimitação das variáveis e do escoamento  

 

 Essa etapa é de grande importância para a elaboração do código 

computacional, uma vez que a quantidade de variáveis, a geometria do problema e o 

tipo de escoamento influenciam no tipo de algoritmo que será desenvolvido. Cada tipo 

de escoamento possui características diferentes que devem ser levadas em conta 

durante as etapas de discretização e implementação do código, dessa forma, deve-

se ser bem objetivo quanto a esses parâmetros.  

Para o trabalho em questão, optou-se pelo desenvolvimento de um algoritmo 

para simular o movimento de fluidos incompressíveis, laminares, com viscosidade 

constante em regime transiente. Além disso, o algoritmo será implementado em uma 

malha bidimensional e será utilizado o método dos volumes finitos para a discretização 

das variáveis. 

 

3.2.2 Discretização do domínio 

 

Tendo definido o tipo de situação e o domínio do problema, parte-se então para 

a etapa de discretização dos parâmetros de interesse. Devido a utilização do método 

dos volumes finitos, definiu-se que a geometria empregada no formato das células 

seria retangular, formando uma malha estruturada cartesiana, na qual as variáveis 

estariam armazenadas no centro. Além disso, nessa etapa, optou-se por utilizar uma 

malha desencontrada, para a qual cada uma das três variáveis teria sua própria malha 

numérica. Dessa forma, os centros dos volumes de controle das malhas das variáveis 

𝑢 e 𝑣 coincidem com as faces dos volumes de controle onde estão armazenadas as 

pressões, como mostra a Figura 25. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



58 
 

Figura 25 -  Volumes de controle para cada variável 

 

Fonte: Adaptado de Ferziger e Peric (2002, pg. 189). 

 

3.2.3  Discretização das equações  

 

Após a definição da malha numérica, foi realizada a discretização das equações 

governantes (Equações 46 a 48) que foram implementadas no código numérico. As 

equações, repetidas aqui por simplicidade, são: 

 

- Momento na direção x: 

 

                             𝜌 (
𝜕𝑢

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦
) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑥
+ 𝜇 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢

𝜕𝑦
)                          (61)  

     
- Momento na direção y: 

 

                              𝜌 (
𝜕𝑣

𝜕𝑡
+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥
+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦
) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦
+ 𝜇 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑥
+
𝜕2𝑣

𝜕𝑦
)                           (62)  

  
- Conservação da massa: 

 

                                    
𝜕𝜌

𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑢

𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣

𝜕𝑦
= 0                                            (63) 

 

Nas Equações 61 e 62, os termos relacionados à gravidade foram omitidos por 

simplicidade. 



59 
 

  Partiu-se então, para o processo de integração das equações em relação ao 

espaço e ao tempo. Começando com a equação da quantidade de movimento na 

direção x (Equação 61), ela foi integrada em relação ao volume de controle P mostrado 

na Figura 25.b. Nela, é possível observar que as faces possuem índices minúsculos, 

a saber: e (leste), w (oeste), n (norte) e s (sul). Já as componentes das velocidades 

nos centros dos volumes adjacentes receberam os mesmos índices, porém escritos 

em maiúsculo. 

 

∫
𝑑

𝑑𝑡
(𝜌𝑢)𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
+ ∫

𝑑

𝑑𝑥
(𝜌𝑢𝑢)𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
+ ∫

𝑑

𝑑𝑦
(𝜌𝑣𝑢)𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
 =

                          − ∫
𝑑𝑝

𝑑𝑥
𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
+ ∫

𝑑

𝑑𝑥
(𝜇

𝑑𝑢

𝑑𝑥
) 𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
+ ∫

𝑑

𝑑𝑦
(𝜇

𝑑𝑢

𝑑𝑦
) 𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
               (64) 

 

O resultado da Equação 64 é a Equação 65: 

 

           
𝜌𝑃𝑢𝑃− 𝜌𝑃

0𝑢𝑃
0

Δ𝑡
+ 𝜌𝑢Δ𝑦|𝑒𝑢𝑒

Θ − 𝜌𝑢Δ𝑦|𝑤𝑢𝑤
Θ + 𝜌𝑣Δ𝑥|𝑛𝑢𝑛

Θ − 𝜌𝑣Δ𝑥|𝑠𝑢𝑠
Θ  

             = 𝜇Δ𝑦
𝜕𝑢

𝜕𝑥
|
𝑒

𝜃
−  𝜇Δ𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑥
|
𝑤

𝜃
+ 𝜇Δ𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦
|
𝑛

𝜃
− 𝜇Δ𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦
|
𝑠

𝜃
− 

𝑑𝑝

𝑑𝑥
|
𝜃
Δ𝑥Δ𝑦                  (65) 

 

É importante observar na Equação 65 que é empregado o termo Θ sobrescrito 

nas variáveis. Esse termo indica em qual nível de tempo as variáveis estão sendo 

analisadas. Quando Θ equivale a zero, como é o caso do primeiro termo do lado 

esquerdo, ele indica que os valores utilizados para aquela variável são da iteração 

passada. Agora, se Θ for igual a 1, ele indica que o valor da variável sendo utilizado 

será o da iteração atual. 

A escolha do valor de Θ acarreta em diferentes formulações para a equação 

discretizada. Para o modelo proposto nesse trabalho, optou-se pela utilização do 

termo valendo 1, gerando uma Formulação Totalmente Implícita, que, conforme 

Maliska (2008), é a mais utilizada para solução numérica na dinâmica dos fluidos, pois 

permite a utilização de intervalos de tempo (Δ𝑡) maiores. 

Uma vez obtido o resultado da integral em torno do volume de controle centrado 

em P, foi necessário definir qual método de interpolação seria utilizado para os termos 

convectivos (lado esquerdo da Equação 68) e difusivos (lado direito da Equação 65). 



60 
 

Seguindo a metodologia descrita por Patankar (2009), e apresentada a seguir, optou-

se pelo esquema Power-law, descrito na seção 2.2.6.3. 

Dessa forma, a Equação 65 foi reescrita substituindo-se os termos difusivos e 

convectivos pelo esquema de interpolação, e após algumas modificações, obteve-se 

a Equação 66: 

 

                          𝐴𝑃𝑢𝑃 = 𝐴𝐸𝑢𝐸 + 𝐴𝑊𝑢𝑊 + 𝐴𝑁𝑢𝑁 + 𝐴𝑁𝑢𝑁 + 𝑏 −
𝑑𝑝

𝑑𝑥
Δ𝑥Δ𝑦                   (66) 

 

Na qual, os termos convectivos e difusivos referentes a cada face foram 

agrupados, gerando os coeficientes “A”, sendo eles: 

 

𝐴𝐸 = 𝐷𝑒𝐴(|𝑃𝑒|) + ⟦−𝐹𝑒, 0⟧                                              (67a) 

 

𝐴𝑊 = 𝐷𝑤𝐴(|𝑃𝑤|) + ⟦𝐹𝑤 , 0⟧                                                     (67b) 

 

𝐴𝑁 = 𝐷𝑛𝐴(|𝑃𝑛|) + ⟦−𝐹𝑛 , 0⟧                                                    (67c) 

 

𝐴𝑆 = 𝐷𝑠𝐴(|𝑃𝑠|) + ⟦−𝐹𝑠, 0⟧                                                   (67d) 

 

Nas equações acima, os termos difusivos foram representados pela letra D e 

os termos convectivos pela letra F. Além disso, utilizou-se a notação 𝐴(|𝑃|), que 

representa a função de interpolação. Cada um desses termos será definido a seguir, 

juntamente com os demais termos presentes na Equação 66. 

 

           𝐴𝑃
0 = 

𝜌𝑃
0𝛥𝑥𝛥𝑦

𝛥𝑡
                                                           (68a)  

 

             𝑏 =  𝐴𝑃
0𝑢𝑃

0                                                     (68b) 

 

                                           𝐴𝑃 = 𝐴𝐸 + 𝐴𝑊 + 𝐴𝑁 + 𝐴𝑆 + 𝐴𝑃
0                                              (68c) 

 

                                            𝐹𝑒 = (𝜌𝑢)𝑒Δ𝑦,            𝐷𝑒 = 
𝜇Δ𝑦

Δ𝑥
                                               (68d) 

 

                                           𝐹𝑤 = (𝜌𝑢)𝑤Δ𝑦,            𝐷𝑤 =  
𝜇Δ𝑦

Δ𝑥
                                            (68e) 



61 
 

                                            𝐹𝑛 = (𝜌𝑣)𝑛Δ𝑥,            𝐷𝑛 =  
𝜇Δ𝑥

Δ𝑦
                                             (68f) 

 

                                             𝐹𝑠 = (𝜌𝑣)𝑠Δ𝑥,            𝐷𝑠 =  
𝜇Δ𝑥

Δ𝑦
                                               (68g) 

 

                                               𝐴(|𝑃|) =  ⟦0, (1 − 0.1|𝑃|)5⟧                                             (68h) 

 

Alguns detalhes importantes podem ser percebidos. O primeiro, é que na 

Equação 66 o gradiente de pressão não foi discretizado. Isso aconteceu porque esse 

termo receberá um tratamento diferente, na próxima seção, devido ao acoplamento 

entre pressão e velocidades.  

A respeito dos termos que aparecem entre chaves nas Equações 67 e 68h, 

essa notação indica que será utilizado o maior resultado entre os dois valores 

informados dentro delas. Por fim, em relação aos valores das velocidades 𝑢 e 𝑣 

utilizadas nos termos difusivos e convectivos para faces do volume de controle, é 

necessário realizar uma média entre dois pontos adjacentes da malha numérica e 

utilizar esse resultado nesses termos, uma vez que se conhece as velocidades 

somente no centro dos volumes de controle e não nas suas faces. 

Em relação a equação do momento para a direção y (Equação 62), foi 

empregado o mesmo procedimento descrito para a equação do momento em x. Dessa 

forma, após a integração da equação em relação ao volume de controle representado 

na Figura 25.c, substituiu-se os termos convectivos e difusivos e então os valores 

foram agrupados, resultando na Equação 69. 

 

                    𝐴𝑃𝑣𝑃 = 𝐴𝐸𝑣𝐸 + 𝐴𝑊𝑣𝑊 + 𝐴𝑁𝑣𝑁 + 𝐴𝑁𝑣𝑁 + 𝑏 −
𝑑𝑝

𝑑𝑦
Δ𝑥Δ𝑦                         (69) 

 

Pode-se perceber que a Equação 69 apresenta a mesma estrutura da Equação 

66, sendo que as únicas alterações foram em relação a variável que está sendo 

calculada, bem como no termo referente ao gradiente de pressão. Todos os 

coeficientes “A” são calculados da mesma maneira que para a equação do momento 

em x, seguindo as Equações 67 e 68. O único termo que sofre alteração é o termo b, 

que passa a ser definido como 

 



62 
 

                                                 𝑏 =  𝐴𝑃
0𝑣𝑃

0                                                         (70) 

 

 Após finalizar a discretização das equações do momento, foi realizado o 

mesmo procedimento para a equação da continuidade (Equação 63). Inicialmente, ela 

foi integrada em relação ao volume de controle em que está armazenada a informação 

da pressão (Figura 25.a), para a qual as velocidades 𝑢 e 𝑣 estão localizadas nas 

quatro faces, resultando na Equação 71. 

 

          ∫
𝑑𝜌

𝑑𝑡
𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
+ ∫

𝑑

𝑑𝑥
(𝜌𝑢)𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
+ ∫

𝑑

𝑑𝑦
(𝜌𝑣)𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑉,𝑡
   

            = 
(𝜌𝑃−𝜌𝑃

0)Δ𝑥Δ𝑦

Δ𝑡
+ [(𝜌𝑢)𝑒 − (𝜌𝑢)𝑤]Δ𝑦 + [(𝜌𝑣)𝑛 − (𝜌𝑣)𝑠]Δ𝑥 = 0        (71) 

 

Na Equação 71, conforme indica Patankar (2009), são utilizadas as velocidades 

atuais quando se segue o esquema totalmente implícito, que foi empregado para este 

algoritmo. 

A equação da continuidade discretizada (Equação 71) não é utilizada em 

nenhum momento como equação para se obter as velocidades atualizadas, sendo 

seu papel principal, o de restringir o campo de velocidades para que ele seja fiel a 

física do problema (MALISKA, 2014).  

 

3.2.4 Solução para o acoplamento Pressão-Velocidade 

 

Com a discretização das Equações de Navier-Stokes feitas, foi preciso buscar 

uma solução para o acoplamento Pressão-Velocidade, comentando na seção 2.2.5. 

O primeiro passo para isso foi a escolha da malha desencontrada, o que fez com que 

os pontos nos quais as pressões e as velocidades fossem armazenadas estivessem 

intercalados. Dessa forma, o gradiente de pressões atua entre faces do volume de 

controle das velocidades, e, conforme Maliska (2014), age como força motriz para o 

movimento do fluido. 

Porém, pressão não possui uma equação própria que a faça avançar no tempo, 

como é o caso para as componentes de velocidade 𝑢 e 𝑣 que possuem as equações 

do momento. Dessa forma, se faz necessário o desenvolvimento e a aplicação de uma 

equação para a pressão que faça com que o processo evolua a cada iteração, sempre 

respeitando a equação da continuidade (MALISKA, 2014). 



63 
 

O método escolhido para solução do problema de acoplamento foi o Método 

Prime (Pressure Implicit Momentum Explicit), proposto por Maliska (2014), que segue