0 
 

 

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES 

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU 

MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS 

 

 

 

 

 

ABORDANDO GEOMETRIA POR MEIO DA 

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA:  

UM COMPARATIVO ENTRE O 5º E 9º ANOS DO 

ENSINO FUNDAMENTAL 
 

 

 

Fernanda Eloisa Schmitt 

 

 

 

 

 

 

 

Lajeado, maio de 2015 

  



1 
 

Fernanda Eloisa Schmitt 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ABORDANDO GEOMETRIA POR MEIO DA INVESTIGAÇÃO 
MATEMÁTICA:  

UM COMPARATIVO ENTRE O 5º E 9º ANOS DO ENSINO 
FUNDAMENTAL 

 
 

Dissertação apresentada ao Programa de 
Pós-Graduação em Ensino de Ciências 
Exatas, do Centro Universitário UNIVATES, 
como parte da exigência para obtenção do 
grau de Mestre em Ensino de Ciências 
Exatas, na linha de pesquisa Tecnologias, 
Metodologias e Recursos Didáticos para o 
Ensino de Ciências e Matemática. 
 

Orientadora: Prof.ª Dra. Marli Teresinha 
Quartieri 
Coorientadora: Profª. Dra. Ieda Maria Giongo 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Lajeado, maio de 2015 



2 
 

AGRADECIMENTOS 

Expresso meus sinceros agradecimentos a: 

- Deus. 

- Meu noivo Maicon dos Santos, pela paciência, incentivo, carinho e amor 

incondicional. 

- Minha mãe Geni Weiss e meu pai Inácio Miguel Schmitt, pelo incentivo nos 

estudos, não me permitindo parar. 

- Meus amigos, pelos momentos de descontração em meio ao caos. 

- Minha orientadora, pelos conselhos, orientação e amizade. 

- Minha coorientadora, pelas brigas e abraços. 

- Meus colegas, em especial, Janaina de Ramos Ziegler e Ademir de Cassio 

Machado Peransoni, pelo apoio, cooperação e auxílio nos momentos em que 

faltava inspiração e pelas risadas nos momentos mais inesperados. 

- Minhas bolsistas e companheiras de trabalho, Bruna, Nicole e Bruna, que me 

auxiliaram no decorrer do caminho. 

- A CAPES, por permitir-me realizar o mestrado e participar como bolsista do 

Observatório da Educação. 



3 
 

RESUMO 

Este estudo refere-se a atividades de geometria abordadas à luz da metodologia 

investigação matemática com alunos do 5º e 9º anos do Ensino Fundamental de 

duas escolas públicas da Educação Básica da região do Vale do Taquari. Estas 

escolas são parceiras do Observatório da Educação intitulado “Estratégias 

metodológicas visando à inovação e reorganização curricular no campo da 

Educação Matemática no Ensino Fundamental”. Este trabalho tem por objetivo 

investigar as conjecturas apresentadas pelos alunos e as diferenças e semelhanças 

que os alunos destas distintas turmas apresentam quando as criam. Pretendeu-se, 

ainda, estimular nos alunos a cultura da escrita em matemática, proporcionar-lhes 

momentos de autonomia no que diz respeito a sua formação discente e momentos 

de trabalho em grupo, promovendo a socialização de aprendizagens. Os aportes 

teóricos usados estão alicerçados nos escritos de Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) 

que expressam que atividades de investigação matemática instigam o aluno à 

descoberta de novos saberes, por meio de problemas abertos, os quais propiciam o 

levantamento de conjecturas possíveis de serem testadas e matematicamente 

registradas. A proposta com foco investigativo foi composta de cinco atividades que 

abordavam diferentes tópicos de geometria. A pesquisa de cunho qualitativa pode 

ser considerada um estudo de caso. O material de pesquisa constituiu-se de diário 

de campo dos alunos, diário de campo do professor e filmagens das aulas. Para 

análise dos dados foi utilizada a análise de conteúdo, por meio de categorias 

elaboradas a partir das diferenças e semelhanças que foram surgindo ao longo da 

intervenção. Como resultados, verificou-se a dificuldade no manuseio da régua e do 

transferidor, tanto por parte dos alunos do 5º como pelos do 9º ano e em relação à 

escrita das conjecturas e conclusões. Percebeu-se que os alunos expressavam suas 

ideias oralmente, mas, no momento de escrevê-las no papel, apenas o faziam de 

forma sintética. Como ponto positivo, os alunos trabalharam em grupo, colaborando 

uns com os outros e auxiliando os que apresentavam maiores dificuldades. Esta 

experiência possibilitou lidar com o novo e o inesperado, permitindo aos alunos 



4 
 

participarem mais ativamente de sua própria aprendizagem, dando-lhes mais 

autonomia. 

Palavras-chave: Investigação Matemática. Geometria. Ensino Fundamental. 



5 
 

ABSTRACT 

This study refers to geometry activities approached in the light of the mathematical 
investigation tendency, with students of the 5th and 9th grades of the Elementary 
Education from two public schools in the area of the Taquari Valley. These schools 
are partners of a project from the Educational Observatory entitled “Methodological 
strategies aimed at innovation and curriculum reorganization in the field of 
Mathematical Education in Elementary School”. This work has as an objective to 
investigate the conjectures presented by the students, and also to analyze the 
differences and similarities that the students of these distinct grades show while 
creating them. It was intended, also, to stimulate the culture of written mathematic in 
the students, besides to provide them moments of autonomy in regards to their 
formation and moments of team work, promoting schooling socialization. The 
theoretical contributions employed in this study are grounded on the writings of 
Ponte, Brocardo and Oliveira (2009), which express that mathematical investigation 
activities tempt the student to discover new knowledges by means of open-ended 
questions, bringing conjectures that are possible to be tested and mathematically 
registered. The purpose, with an investigative focus, was composed by five activities 
that approached many geometry topics. The research, of qualitative measurement, 
may be considered a case study. The research material consisted in students's field 
diary, teachers's field diary and videotaped classes. The data analysis was based on 
the concept of Content Analysis, in which the categories were elaborated after the 
differences and similarities that were developed during the intervention. As a result, it 
was verified that there is a difficulty in the handling of the ruler and the protractor for 
part of the students of both 5th and 9th grades, and also in regards to the writing of 
conjectures and conclusions. It was noticed that the students expressed their 
ideas orally, however, in the moment of writing them in the paper, they would only do 
it synthetically. As a positive, the students worked in groups, colaborating with each 
other and helping those who showed more difficulties. This experience made 
possible to handle the new and unexpected, providing the students the possibility to 
participate more actively in their schooling, which gives them more autonomy.  

Keywords: Mathematical Investigation. Geometry. Elementary School. 



6 
 

LISTA DE FIGURAS 

Figura 1 – Retângulos diferentes encontrados pelos grupos.....................................47 

Figura 2 – Exemplo de “círculo” confeccionado por alunos do 5º ano.......................50 

Figura 3 – Círculo com barbante sobreposto.............................................................50 

Figura 4 – Exemplos de figuras qualquer, turmas de 5º ano e 9 ano........................51 

Figura 5 – Um aluno explicando para o colega sua conjectura.................................51 

Figura 6 – Imagem do quadro com as representações dos quadrados, suas medidas, 

perímetro e área........................................................................................54 

Figura 7 – Quadrado repartido em quatro partes iguais, representação de ¼..........57 

Figura 8 – Generalizações que surgiram durante as discussões nas turmas de 9º 

ano.............................................................................................................58 

Figura 9 – Alunos montando os triângulos.................................................................59 

Figura 10 – Triângulos construídos com canudinhos pelos alunos...........................60 

Figura 11 – Quadro com as medidas que formavam triângulos e que não 

formavam..................................................................................................62 

Figura 12 – Triângulos desenhados em papel quadriculado e com os ângulos 

medidos.....................................................................................................63 



7 
 

Figura 13 – Figura que foi contornada em uma folha quadriculada...........................66 

Figura 14 – Quadriculado de 0,5 x 0,5 cm desenhado sobre a figura.......................67 

Figura 15 – Figura com quadradinhos disformes.......................................................68 

Figura 16 – Figura cujo contorno foi medido com régua e somado...........................69 

Figura 17 – Tabela construída por uma aluna do 9º ano...........................................73 

Figura 18 – Quadro com colocações referentes às discussões da atividade 5.........77 

Figura 19 – Fórmula para calcular área de triângulos ...............................................82 

Figura 20 – Medidas que não fecharam triângulos...................................................83 

Figura 21 – Aluno montando o cubo com auxílio do material dourado......................84 

Figura 22 – Resposta de uma aluna do 9º ano para a atividade 2 ...........................85 

Figura 23 – Respostas de um aluno para a atividade 1 ............................................86 



8 
 

LISTA DE QUADROS 

Quadro 1 – Exemplos de atividades, problemas e tarefas de investigação...............17 

Quadro 2 – Quadro comparativo................................................................................18 

Quadro 3 – Momentos na realização de uma investigação.......................................21 

Quadro 4 – Descritores do 5º e 9º anos dos temas Espaço e Forma e Grandezas e 

Medidas ..................................................................................................28 

Quadro 5 – Relação das dissertações escolhidas.....................................................30 

Quadro 6 – Contexto da pesquisa .............................................................................38 

Quadro 7 – Semelhanças x Diferenças entre 5º ano e 9º ano na primeira 

atividade..................................................................................................48 

Quadro 8 – Semelhanças x Diferenças entre 5º ano e 9º ano na segunda 

atividade..................................................................................................57 

Quadro 9 – Semelhanças x Diferenças entre 5º ano e 9º ano na terceira 

atividade..................................................................................................64 

Quadro 10 – Semelhanças x Diferenças entre 5º ano e 9º ano na quarta 

atividade..................................................................................................70 

Quadro 11 – Semelhanças x Diferenças entre 5º ano e 9º ano na quinta 

atividade..................................................................................................78 



9 
 

SUMÁRIO 

 

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 10 

2 REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................... 15 

2.1 Exercícios, Problemas e Investigações ....................................................... 16 

2.2 Investigação matemática ............................................................................... 19 

2.3 Geometria ....................................................................................................... 24 

2.4 Alguns estudos efetivados sobre investigação matemática em 

dissertações ......................................................................................................... 29 

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................... 37 

4 INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E ANÁLISE DAS ATIVIDADES ......................... 42 

4.1 Descrição dos dados emergentes da atividade 1 ....................................... 43 

4.2 Descrição dos dados emergentes da atividade 2 ....................................... 52 

4.3 Descrição dos dados emergentes da atividade 3 ....................................... 58 

4.4 Descrição dos dados emergentes da atividade 4 ....................................... 65 

4.5 Descrição dos dados emergentes da atividade 5 ....................................... 70 

4.6 Apontamentos e percepções ........................................................................ 78 

4.6.1 Concepções sobre triângulos................................................................. 78 

4.6.2 Confusão entre área e perímetro por parte dos alunos ....................... 80 

4.6.3 Uso de material manipulável................................................................... 82 

4.6.4 Escrever em matemática ......................................................................... 84 

CONSIDERAÇÕES SOBRE A PESQUISA .............................................................. 88 

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 93 

APÊNDICES ............................................................................................................. 97 



10 
 

1 INTRODUÇÃO 

O ensino da Matemática tem um papel de destaque nas escolas, sendo 

valorizado tanto pelos saberes como pelas habilidades e competências que 

desenvolve nos alunos. Mas nem todos os conteúdos desta disciplina têm sido 

desenvolvidos com todo o potencial esperado, em particular, aqueles vinculados à 

geometria.  

Pesquisadores – dentre eles Grando, Nacarato e Gonçalves (2008) e 

Pavanelo (2004) - comentam sobre o descaso acometido nas escolas em relação a 

este conteúdo, pois ainda se percebe que está sendo deixado de lado em 

favorecimento a outros conteúdos, tais como álgebra e funções. Entretanto, ao 

analisar as Diretrizes Curriculares Nacionais e as avaliações externas à escola, que 

servem para medir a qualidade da educação, observa-se uma vasta abordagem dos 

temas relacionados à geometria, o que torna evidente que a exclusão destes 

assuntos dos currículos escolares ou seu tratamento inadequado podem causar 

prejuízos à formação dos indivíduos. 

Aliado a este contexto, cabe destacar que estudos e pesquisas em Educação 

Matemática são encontrados em relação a diferentes metodologias que inspiram 

resultados promissores ao serem trabalhadas com os alunos. Mas, o que se percebe 

é que pouco ou nada destas investigações acaba sendo inserido na prática 

pedagógica dos professores e muitos docentes nem tomam conhecimento de sua 

existência, ficando as mesmas limitadas ao acervo das bibliotecas universitárias e a 

pesquisas em meio acadêmico.  



11 
 

Tentando modificar este contexto, o Observatório da Educação, Edital 

049/2012/CAPES/INEP, número do projeto 15206, intitulado “Estratégias 

metodológicas visando à inovação e reorganização curricular no campo da 

Educação Matemática no Ensino Fundamental”, vinculado ao Centro Universitário 

Univates, vem desenvolvendo uma pesquisa que problematiza três tendências da 

Educação Matemática: modelagem matemática, etnomatemática e investigação 

matemática. O objetivo geral da referida pesquisa é investigar estratégias que 

possam proporcionar inovação e reorganização curricular na matemática no Ensino 

Fundamental.  

Esta investigação está vinculada ao Programa de Mestrado Profissional em 

Ensino de Ciências Exatas do Centro Universitário UNIVATES, Lajeado/RS e está 

sendo desenvolvida em seis escolas públicas de Educação Básica do Vale do 

Taquari, RS. Estas escolas foram escolhidas devido à discrepância entre suas notas 

no IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Brasileira) relativas à 4ª série/5º 

ano e à 8ª série/9º ano1.  

O projeto conta com quinze bolsistas, sendo três mestrandos, incluindo a 

autora deste trabalho, seis professoras representantes das escolas parceiras do 

Observatório, seis alunos da graduação e quatro professoras da Instituição, sendo 

uma delas orientadora deste trabalho.  

Vinculada a esta pesquisa, esta dissertação tem foco na metodologia 

investigação matemática, que será devidamente explicitado no capítulo do 

referencial teórico, no contexto de atividades de geometria. Assim, o tema deste 

trabalho é o uso de investigação matemática no ensino de geometria com 

alunos do 5º e 9º anos do Ensino Fundamental em duas escolas públicas do 

Vale do Taquari. 

Entendo por investigação matemática, conforme Ponte, Brocardo e Oliveira 

(2009), atividades que instigam o aluno à descoberta de novos saberes, por meio de 

problemas abertos, que propiciem o levantamento de conjecturas possíveis de 

serem testadas e matematicamente registradas. 

                                                             
1
 Irei usar 9º ano, mesmo que em algumas escolas ainda é utilizado 8ª série. 



12 
 

Apresenta-se, portanto, o seguinte problema de pesquisa: 

Como os alunos de 5º ano e 9º ano do Ensino Fundamental, de duas escolas 

públicas da Educação Básica da região do Vale do Taquari, operam com atividades 

de investigação matemática envolvendo geometria e quais as 

diferenças/semelhanças nas conjecturas apresentadas entre as distintas turmas? 

Neste contexto, o objetivo geral foi investigar as conjecturas apresentadas por 

alunos do 5º e 9º anos do Ensino Fundamental advindas de atividades de 

investigação matemática envolvendo geometria. 

Objetivos específicos: 

- Averiguar que regras matemáticas são utilizadas pelos alunos, em diferentes 

graus de escolaridade, quando criam e justificam conjecturas acerca de atividades 

envolvendo geometria. 

- Disponibilizar para duas turmas de alunos atividades em consonância com a 

metodologia investigação matemática. 

- Estimular nos alunos a cultura da escrita em matemática. 

- Proporcionar momentos de trabalho em grupo, promovendo a socialização 

de aprendizagens. 

O trabalho aqui apresentado foi desenvolvido em duas escolas públicas 

participantes do projeto Observatório da Educação que se localizam no Vale do 

Taquari. Em cada escola trabalhou-se com uma turma de 5º ano e uma turma de 9º 

ano do Ensino Fundamental.  

Uma das escolas é da rede municipal e conta com 297 alunos entre 1º ano e 

9º ano. A turma do 5º ano onde se desenvolveu a atividade contava com 17 alunos, 

já o 9º ano com 19 alunos. A outra escola é da rede estadual e agrega 295 alunos 

entre o 1º ano do Ensino Fundamental e o 3º Ano do Ensino Médio. A turma do 5º 

ano constituía-se de 26 alunos e ado 9º ano de 18 alunos. 

Esta proposta justifica-se por três razões. Primeiro, por receber apoio do 

Programa Observatório da Educação, estando em consonância com os objetivos do 



13 
 

mesmo e sendo a pesquisadora uma das bolsistas de Mestrado que integrada o 

grupo de trabalho do referido projeto.  

A segunda razão é a preocupação com a pouca importância dada à geometria 

nos currículos escolares, uma vez que a mesma só aparece no final dos planos de 

estudo, sendo desenvolvida em muitos casos apenas se sobrar tempo. Tal fato se 

comprovou ao analisar os planos de estudo das seis escolas parceiras, onde pouca 

ênfase é dada ao conteúdo que compõe o bloco curricular de geometria. Este bloco 

aparece apenas nos planos de algumas séries/anos ou no final do ano como 

“tópicos de geometria”, sem muito detalhamento do que deve ser abordado. 

E a terceira razão é o gosto pessoal pelo conteúdo de geometria. Neste 

sentido, acredito que este assunto abre possibilidades promissoras para novas 

didáticas e possibilita um trabalho mais concreto, desenvolvendo habilidades lúdicas 

e lógicas nos alunos. Apesar da pouca experiência em sala de aula, percebo que o 

conteúdo vinculado à geometria cria um fascínio nos alunos que se sentem mais 

próximos da matemática ao poderem manipular objetos e visualizar situações que 

suscitam conceitos matemáticos.  

Outro fator que contribuiu para esta pesquisa foi a análise das questões 

disponíveis da Prova Brasil, realizada pelos integrantes (professores e mestrandos) 

da pesquisa do Observatório da Educação Univates. Nesta análise procurou-se 

identificar os conteúdos presentes na prova, bem como os descritores2 que 

compõem a mesma. Ao fazer este estudo percebeu-se que a maioria das questões 

da avaliação baseia-se em habilidades e competências oriundas da geometria. 

Diante do exposto, acredito que este estudo seja importante para a comunidade 

acadêmica no geral e para mim como profissional. 

Após esta breve introdução, no capítulo dois discorro sobre o referencial 

teórico, descrevendo os pressupostos dos Parâmetros Curriculares Nacionais 

(PCNs) no que condiz a Matemática. A seguir, explicito conceitos de resolução de 

problemas, de exercícios e de investigação matemática. Logo após apresento uma 

seção específica sobre investigação matemática, utilizando teóricos e estudiosos da 

                                                             
2
 O PDE (2008) traz temas subdivididos em descritores, já os PCN (1997, 1998) coloca como bloco 

de conteúdos, mas em suma referem-se a mesma coisa. 



14 
 

área. Na penúltima seção deste capítulo, explicito estudos sobre a aprendizagem da 

geometria. Termino, na última seção deste capítulo, com o estado da arte que 

engloba algumas dissertações publicadas envolvendo investigação matemática. 

No capítulo três enfatizo os procedimentos metodológicos utilizados, que 

foram centrados na pesquisa qualitativa, em particular, estudo de caso e pesquisa 

participante. Descrevo como se efetivou a intervenção pedagógica, quais os 

métodos que permitiram a geração do material de pesquisa.  

No quarto capítulo apresento o desenvolvimento detalhado das atividades e 

as respostas presentes nos diários dos alunos, as observações da pesquisadora e 

as filmagens, bem como a categorização das mesmas. E, no quinto capítulo, 

encontram-se as minhas considerações sobre a pesquisa. 



15 
 

2 REFERENCIAL TEÓRICO 

“Investigar é procurar conhecer o que não se sabe.” 

(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 13) 

Neste capítulo é meu propósito discorrer sobre aportes teóricos que baseiam 

esta pesquisa. Assim, apresento uma visão geral de alguns conceitos, procurando 

diferenciar problemas matemáticos, exercícios e investigação matemática, 

aprofundando os estudos sobre a investigação matemática e sobre Geometria. 

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), em 1997, já apontavam que o 

ensino de Matemática deveria estar pautado na importância e iminente necessidade 

apresentada pela sociedade e pelo mercado de trabalho. De acordo com estes 

parâmetros, a 

Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas 
da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona 
como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras 
áreas curriculares (BRASIL, 1997, p.15). 

Nesta perspectiva, o ensino de Matemática pode interferir na formação 

intelectual, na estruturação do pensamento e no raciocínio dedutivo do aluno. Os 

PCNs (BRASIL, 1997) também trazem alguns objetivos para o ensino fundamental, 

entre eles a necessidade de que os alunos sejam capazes de questionar a 

realidade, formulando e resolvendo problemas, utilizando para isso o “pensamento 

lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando 

procedimentos e verificando sua adequação” (BRASIL, 1997, p. 9). Ainda segundo 

esses parâmetros (BRASIL, 1997, p. 56), o aluno também deve “demonstrar 



16 
 

interesse para investigar, explorar e interpretar, em diferentes contextos do cotidiano 

e de outras áreas do conhecimento, os conceitos e procedimentos matemáticos”. 

Assim, torna-se inegável o papel da Matemática na formação de um indivíduo 

pensante. 

Os PCNs (BRASIL, 1998) também abordam critérios de avaliação que 

evidenciam as expectativas de aprendizagem que o aluno deve alcançar e apontam 

as experiências educativas a que os mesmos devem ter acesso, considerando-as 

essenciais para o seu desenvolvimento. Um dos critérios diz que os alunos devem 

“decidir sobre os procedimentos matemáticos adequados para construir soluções 

num contexto de resolução de problemas” (BRASIL, 1998, p. 76). Por meio deste, 

pode-se verificar se o aluno é capaz de interpretar uma situação problema, distinguir 

as informações necessárias para resolvê-la, levantando hipóteses e escolhendo os 

procedimentos cabíveis a serem utilizados e, por fim, validar resultados, 

apresentando-os de forma organizada e clara. Destaca-se que este processo é 

semelhante ao proposto na metodologia investigação matemática. 

A seguir, apresento algumas definições de Problemas Matemáticos, 

investigação matemática e Exercícios, procurando diferenciá-las e atribuindo um 

significado mais específico a cada uma, para que o leitor possa compreender as 

tarefas de investigação. 

 

2.1 Exercícios, Problemas e Investigações 

De acordo com Ponte (2003b), a Matemática tem tarefas características, 

sendo que o exercício é a mais conhecida delas. Entretanto, para o autor existem 

outros tipos, tais como os problemas e as investigações, conforme alguns exemplos 

do Quadro 1. 

Por vezes também se fala em tarefas de modelação e projectos. É de notar 
que as características de uma tarefa não são absolutas, mas relativas à 
pessoa que a realiza. Uma mesma questão pode ser para uma pessoa um 
problema e para outra um exercício, etc. (PONTE, 2003b, p. 28). 

 Por isso, cabe ao professor gerenciar a introdução da tarefa e a forma como a 

mesma vai ser conduzida ao longo da aula. É importante, para o docente, conhecer 

a turma e como a mesma vai reagir à determinada atividade, saber seus 



17 
 

conhecimentos prévios e tentar sempre desafiá-los com diferentes tarefas para não 

deixar as aulas caírem na monotonia.  

Quadro 1 - Exemplos de atividades, problemas e tarefas de investigação 

Exercício Problema Tarefa de investigação 

Simplifica: 
 

a) 
6

12 = 

 

b) 
3x (10− 7)

17− 2 = 

 

c) 

20

18− 9

(15− 10)x 2

3

= 

 
Qual o menor 
número inteiro 
que, dividido por 
5, 6 e 7 dá 
sempre resto 3? 

 
1. Escrever a tabuada dos 9, 
desde 1 até 12. Observar os 
algarismos das diversas 
colunas e encontrar 
regularidades. 
 
2. Encontrar regularidades nas 
tabuadas de outros números.  

Fonte: Adaptado de Ponte (2003b, p. 28) 

Como se pode observar no Quadro 1, as atividades de investigação 

matemática são mais abertas e não tão direcionadas, fazendo com que os alunos 

pensem não apenas na resposta, mas em meios de encontrá-la. Ao resolver 

questões de investigação os alunos podem encontrar diferentes resultados e seguir 

pelo caminho que acharem mais conveniente para descobri-los. 

Para distinguir os conceitos de problemas matemáticos, exercícios e 

investigação matemática servirão como base ideias de alguns autores que falam 

sobre o assunto. Entre os autores que tratam desta temática são citados Palhares 

(2004), Dante (2009), Polya (1978) e Ponte, Brocardo e Oliveira (2009). 

Dante (2009, p. 11) expressa um problema como sendo “um obstáculo a ser 

superado, algo a ser resolvido e que exige o pensar consciente do indivíduo para 

solucioná-lo”. Para ele, um problema é relativo ao sujeito, pois o que pode ser um 

problema para uma pessoa não o é para outra. O mesmo autor, no que se refere 

aos exercícios, explana que “Exercícios, como o próprio nome diz, serve para 

exercitar, para praticar determinado algoritmo ou procedimento” (grifo do autor, p. 

48). Já os problemas podem ser descritos como “‟uma situação em que se procura 

algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua 



18 
 

solução” (DANTE, 2009, p. 48). 

Palhares (2004, p. 14) evidencia que “a resolução de problemas e as 

investigações são duas actividades que envolvem processos complexos de 

pensamento que permitem desafiar os alunos,…”. No entanto, há alguns fatos que 

os diferenciam, como sugere Palhares (2004, p. 14): 

− As investigações têm um carácter mais aberto e as estratégias que 

utilizam são difíceis de sistematizar. 

− O problema normalmente está formulado com perguntas claras, de âmbito 

mais fechado, enquanto que na investigação as questões são mais abertas, 

menos elaboradas e até o aluno pode participar na sua formulação. 

− A resolução de problemas pressupõe uma solução, enquanto que a 

investigação poderá ter ou não solução, uma vez que o seu interesse reside 

na exploração da questão por todos os caminhos possíveis.  

Em relação à investigação matemática, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 

23) argumentam que “se trata de situações mais abertas - a questão não está bem 

definida no início, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua 

definição”. Procurando diferenciar resolução de problemas e investigação 

matemática, exponho também o Quadro 2, elaborado por Trindade (2008) como 

uma discussão final em sua dissertação de mestrado. 

Quadro 2 – Quadro comparativo 

PROBLEMA MATEMÁTICO INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA 

Uma situação na qual um indivíduo ou um 
grupo é chamado a realizar uma tarefa para 
a qual não há algoritmo imediatamente 
acessível que determine completamente o 
método de solução. 
“Resolver um problema é encontrar os 
meios desconhecidos para um fim 
nitidamente imaginado” (Pólya) 

É um termo genérico que designa a 
atividade dos matemáticos profissionais no 
desenvolvimento do novo conhecimento. 
 
É a procura, a ação de investigar, o exame 
sistemático, a inquirição. 

O verbo mais usado é “resolver”. O verbo mais usado é “investigar”. 

É uma atividade convergente. É uma atividade divergente. 

Tem objetivo conhecido. É um problema aberto. 

Procura um método. Procura um objetivo. 

Permite procurar um caminho que o leve à 
solução. 

Permite explorar caminhos de forma 
criativa e independente, sem o 
compromisso de chegar ao fim. 

Processos: 

 ter uma questão para resolver 

 querer encontrar uma resposta 

 não tê-la de antemão 

 ter como consequência a 
construção de uma resposta 

Processos: 

 exploração de possibilidades 

 formulação de conjecturas 

 procura de argumentos que validem 
as descobertas realizadas 

(Continua...) 



19 
 

(Continuação) 

É bom trabalhar em qualquer problema 
desde que ele gere Matemática interessante 
durante o caminho, mesmo se não o 
resolver até o fim.  

Uma investigação é como que uma viagem 
ao desconhecido, a estrada é o objetivo e 
não a chegada. 

Fonte: (TRINDADE, 2008, p. 153-154) 

Como conclusões as suas divagações, Trindade (2008) expressa que a 

Matemática não é só um conjunto de conteúdos a serem estudados e que investigar, 

além de ser motivador, desenvolve a capacidade intelectual, contribuindo para um 

conhecimento mais amplo de conceitos e facilitando assim a aprendizagem. 

Investigar ajuda a estabelecer um ambiente vivo em que cada um pode participar 

ativamente na construção de seus saberes, não ficando dependente do professor, 

mas buscando sua própria autonomia no decorrer do processo. A autora ressalta 

que 

Um problema se torna uma investigação quando o aluno se confronta com 
questões as quais não sabe responder de imediato, quando é levado a 
pensar produtivamente, refletindo nos comos e porquês em busca da 
solução. Não basta ter uma tarefa para termos um problema e nem mesmo 
termos um problema para termos uma atividade investigativa. Tudo 
dependerá da relação que o aluno estabelece com essa atividade 
(TRINDADE, 2008, p. 156). 

Tendo em vista todas estas discussões, passarei, a seguir, a discorrer 

especificamente sobre as atividades de investigação matemática, procurando 

especificar o que alguns autores propõem como conceitos a esta metodologia. 

 

2.2 Investigação matemática 

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), em termos gerais, a definição de 

investigar aplica-se a diversas palavras como, indagar, pesquisar, inquirir, averiguar. 

Para os matemáticos, investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos, 

procurando identificar as propriedades inerentes aos mesmos. Para esses autores, 

no que diz respeito ao ensino e à aprendizagem, investigar não significa resolver 

problemas difíceis, descobrir fórmulas novas, ou inventar novos conceitos. Significa 

a formulação de questões de interesse próprio, para as quais não há respostas 

prontas e, portanto, necessitam ser investigadas, utilizando processos 

fundamentados e rigorosos para que as mesmas sejam válidas e aceitáveis. Eles 



20 
 

ainda colocam que: 

[...] uma investigação matemática desenvolve-se usualmente em 
torno de um ou mais problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro 
grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o 
problema a resolver. Por isso, não é de admirar que, em Matemática 
exista uma relação estreita entre problemas e investigação (PONTE; 
BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 16). 

 Por ter esta característica, este tipo de atividade deve ser disponibilizado, 

procurando desenvolver a habilidade e a capacidade dos alunos para solucionarem 

dilemas e formularem conjecturas a respeito dos problemas apresentados. Nesta 

mesma perspectiva, Goldenberg (1999, p. 37, grifo do autor) comenta que 

se um dos objetivos da educação matemática é fazer com que os alunos 

aprendam como é que as pessoas descobrem factos e métodos, deveriam 

também, durante uma parte significativa do tempo de aprendizagem, 

dedicar-se a essa mesma atividade: descobrir os factos. 

Neste sentido, não se pode explicar técnicas e fazer com que os alunos se 

limitem a executá-las. “O objetivo propriamente dito é que o aluno aprenda como ser 

um investigador perspicaz, e para isso tem que fazer investigação” (Ibidem, p. 

37).Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) aludem que investigar em Matemática conduz 

à formulação de conjecturas, hipóteses, as quais necessitam ser repetidamente 

testadas e provadas. Uma investigação matemática envolve “conceitos, 

procedimentos e representações matemáticas, mas o que mais fortemente as 

caracteriza é este estilo conjectura-teste-demonstração” (PONTE; BROCARDO; 

OLIVEIRA, 2009, p. 10). 

Os autores também delimitam uma investigação matemática em quatro 

momentos principais. O primeiro envolve o reconhecimento da situação 

apresentada, a sua exploração inicial e a formulação de questões, as quais servem 

de base para o segundo momento o qual se refere à formulação de conjecturas 

sobre o problema em estudo. Conjecturas são hipóteses e pressupostos que, no 

terceiro momento, precisam ser testadas e refinadas, procurando aperfeiçoá-las. Por 

fim, tem-se a argumentação, a demonstração e a avaliação do trabalho realizado. 

Os pesquisadores, anteriormente citados, pontuam que cada uma dessas 

passagens pode incluir diversas atividades como indicado no Quadro 3. 

 



21 
 

Quadro 3 – Momentos na realização de uma investigação 

Exploração e formulação de 
questões 

  Reconhecer uma situação 
problema 

 Explorar a situação problemática 

 Formular questões 

Conjecturas  Organizar dados 

 Formular conjecturas (e fazer 
afirmações sobre uma 
conjectura) 

Testes e reformulação  Realizar testes 

 Refinar uma conjectura 

Justificação e avaliação  Justificar uma conjectura 

 Avaliar o raciocínio ou o 
resultado do raciocínio 

Fonte: (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 21) 

A exploração da tarefa, profere Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 30), leva 

tempo e é uma etapa decisiva para a formulação das conjecturas, sendo que o 

“trabalho em grupo potencializa o surgimento de várias alternativas para a 

exploração da tarefa”. As conjecturas surgem de diferentes formas, podendo ser por 

observação ou manipulação dos dados, sendo que o aluno tende a não verbalizar a 

formulação das conjecturas. “É somente quando se dispõem a registrar as suas 

conjecturas que os alunos se confrontam com a necessidade de explicitarem as 

suas ideias e estabelecerem consensos e um entendimento comum quanto às suas 

realizações” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 33). 

Os autores expressam ainda que o registro escrito do aluno é um desafio 

porque “exige um tipo de representação que nunca utilizaram” (Ibidem, p. 35). 

Apesar disso ele desempenha um papel fundamental, pois a escrita “ajuda os alunos 

a clarificarem as suas ideias, nomeadamente a explicitar as suas conjecturas” 

(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 36). Smole e Diniz (2001, p. 31) 

expressam que: 

Escrever pode ajudar os alunos a aprimorarem percepções, conhecimentos 
e reflexões pessoais. Além disso, ao produzir textos em matemática, tal 
como ocorre em outras áreas do conhecimento, o aluno tem oportunidade 
de usar habilidades de ler, ouvir, observar, questionar, interpretar e avaliar 
seus próprios caminhos, as ações que realizou, no que poderia ser melhor. 
É como se pudesse refletir sobre o próprio pensamento e ter, nesse 
momento, uma consciência maior sobre aquilo que realizou e aprendeu. 

Para os autores citados, a escrita se faz necessária não apenas para registro 



22 
 

das descobertas e resultados, mas para ajudar o aluno a construir e organizar seu 

pensamento.  

Depois de adquirido o conhecimento sobre investigação, pode-se perguntar: 

como será possível realizá-la na sala de aula de matemática? E, fazendo alusão aos 

questionamentos de Ponte, Brocardo e Oliveira (2009): como organizar e 

desenvolver o trabalho? Qual é o papel do professor? O que esperar dos alunos? 

De acordo com esses autores, uma investigação matemática em sala de aula 

apresenta-se em três fases, todas de suma importância para o pleno 

desenvolvimento e aproveitamento de uma atividade investigativa. São elas: 

- introdução da tarefa à turma; 

- realização da investigação; 

- discussão dos resultados, quando os alunos relatam aos colegas suas 

descobertas. 

Pode-se acrescentar ainda a importância da escolha da tarefa, conforme 

Skovsmose (2008). Assim, a atividade será investigativa dependendo de sua 

natureza, do professor e do aluno, sendo que a natureza da atividade apresenta 

influência da possibilidade de exploração e explicação das propriedades 

matemáticas envolvidas e o quanto esta é atrativa aos alunos. Para Goldenberg 

(1999), deve-se organizar os problemas de modo que os alunos possam trabalhar 

neles sem ser necessário dizer-lhes como ou o que  devem fazer. Na visão do autor, 

os problemas devem ser concebidos para ajudar os alunos a desenvolverem ideias 

e métodos matemáticos sem explicações ou exemplos prévios.  

Já Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) alegam que, ao introduzir a tarefa, o 

professor tem um papel determinante nas aulas de investigação. Por um lado, 

necessita proporcionar aos alunos a autonomia que é necessária para não 

comprometer a autoria da investigação. E, por outro, garantir que o trabalho dos 

alunos flua e seja significativo do ponto de vista da disciplina de Matemática.  

Na mesma linha argumentativa, para Bertini e Passos (2008, p. 3), numa 

investigação, o professor escolhe um ponto de partida, geralmente uma situação 



23 
 

aberta, e os estudantes definem os problemas dentro da situação e tentam resolver 

por seus próprios caminhos. “Desse modo, uma investigação requer a participação 

efetiva do estudante na própria formulação das questões a estudar, e, segundo 

estudos, essa dinâmica favorece o seu envolvimento na aprendizagem.”  

Durante a investigação, profere Skovsmose (2008), o professor tem o papel 

de desafiar o aluno com questões instigadoras, deixando que assumam o processo 

de exploração e explicação, possibilitando assim com que o cenário de investigação 

passe a constituir um novo ambiente de aprendizagem. “No cenário para 

investigação, os alunos são responsáveis pelo processo” (SKOVSMOSE, 2008, p. 

21). Ainda segundo o mesmo pesquisador 

[...] qualquer cenário para investigação coloca desafios para o professor. A 
solução não é voltar para a zona de conforto do paradigma do exercício, 
mas ser hábil para atuar no novo ambiente. A tarefa é tornar possível que 
alunos e professor sejam capazes de intervir em cooperação dentro da zona 
de risco, fazendo dessa uma atividade produtiva e não uma experiência 
ameaçadora. (SKOVSMOSE, 2008, p. 37) 

Para este autor, um cenário de investigação é um ambiente que dá suporte a 

uma investigação e é aquele que convida os alunos a formularem questões 

procurando explicações que lhes são adequadas e satisfaçam sua curiosidade. Para 

Goldenberg (1999, p. 48), 

O recurso à investigação impõe ao professor um certo número de novas 
exigências. Além de requerer adaptações pedagógicas no sentido de 
estimular o espírito de investigação entre os alunos, o recurso à 
investigação impõe novas exigências aos conhecimentos matemáticos do 
professor.  

No momento final de uma atividade investigativa, a interação torna-se 

obrigatória tendo em vista a divulgação e a confirmação dos resultados. Conforme 

Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), muitas vezes o que se torna mais importante, 

nestas atividades, não é a variedade de conjecturas propostas na investigação, mas 

os diversos processos de justificação e prova, sucessivamente postos em ação. E, 

nesta fase, torna-se necessária a escrita que necessita apresentar rigor matemático 

para que as justificativas sejam aceitas tanto pelos colegas como pelo professor. 

Neste contexto, pode-se expressar que o desafio dos professores é articular 

os diferentes tipos de tarefas, como realizações de investigações e projetos e a 

resolução de exercícios e problemas, de modo a construir um currículo interessante 



24 
 

e equilibrado capaz de promover o desenvolvimento matemático dos alunos com 

diferentes níveis de desempenho. Assim, é possível perceber que essa metodologia 

de investigação vai também ao encontro dos PCNs (BRASIL, 1997, p. 51), uma vez 

que estes afirmam que a matemática deve desenvolver no educando a capacidade 

 [...] de comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e 
apresentar resultados com precisão e argumentar sobre conjecturas, 
fazendo uso de linguagem oral e estabelecendo relações entre elas e 
diferentes representações matemáticas. 

Tais processos – descrever, representar, argumentar – são primordiais na 

investigação matemática, que procura incentivar os alunos a desenvolvê-los e 

utilizá-los tanto nas aulas de Matemática como nas situações do cotidiano. 

A seção seguinte faz referência à geometria, sua importância no estudo da 

Matemática e como tarefas de investigação são propícias para trabalhar a mesma, 

culminando nos referenciais que norteiam os currículos pedagógicos de instituições 

de Ensino Fundamental. 

 

2.3 Geometria 

Conforme Grando, Nacarato e Gonçalves (2008), pesquisas e produções 

brasileiras revelam que a geometria vem assumindo um caráter mais exploratório e 

investigativo, buscando subsídios teóricos em outras áreas do conhecimento, como 

a epistemologia, a história, a psicologia sociocultural e a linguagem. Surgem, assim, 

novas formas de produzir conhecimentos geométricos em sala de aula, 

principalmente se houver maior diálogo entre professor e aluno, numa perspectiva 

de negociação e produção de significados. Nesse contexto, buscam-se 

ressignificações para os processos de validação e verdade em Matemática. 

Para os autores citados,  

[...] as tarefas exploratório-investigativas mostram-se altamente 
potencializadoras de processos de argumentações e provas em geometria 
na sala de aula. Elas podem ser realizadas a partir de uma tarefa ou um 
conjunto de tarefas no qual o aluno passa a identificar qual é o problema a 
resolver e como resolvê-lo. Trata-se de problemas abertos que possibilitam 
diferentes perguntas, estratégias de resolução e processos de validação. 
(GRANDO; NACARATO; GONÇALVES, 2008, p. 43) 

De acordo com o exposto, as tarefas exploratório-investigativas apresentam 



25 
 

fatores que direcionam pensar na potencialidade de atividades que possibilitam aos 

alunos tornarem-se pessoas mais autônomas em sua aprendizagem. Cabe pontuar 

ainda que, de acordo com os autores, os alunos, ao procurarem respostas para as 

próprias perguntas, sentem-se mais motivados e instigados para a realização das 

atividades. O que remete às ideias de Abrantes (1999) que afirma que aprender 

Matemática é essencialmente fazer Matemática. Tal pensamento tem contribuído 

para conceber a importância de atividades de natureza exploratória e investigativa, 

sendo as mesmas concebidas na intenção de que o aluno (re)descubra a 

Matemática.  

Segundo Abrantes (1999, p. 155), “a geometria parece ser, dentro da 

Matemática escolar, uma área particularmente propícia à realização de atividades de 

natureza exploratória e investigativa”. Uma contribuição da prática de atividades que 

envolvem os alunos em problemas abertos é o fato de lidar com processos 

fundamentais da atividade e do pensamento matemático, como formular problemas, 

fazer e demonstrar conjecturas ou comunicar descobertas. Em particular o 

[...] apelo à intuição e à visualização e recorrendo, com naturalidade, à 
manipulação de materiais, a geometria torna-se, talvez mais do que 
qualquer outro domínio da Matemática, especialmente propícia a um ensino 
fortemente baseado na realização de descobertas e na resolução de 
problemas, desde os níveis escolares mais elementares. Na geometria, há 
um imenso campo para a escolha de tarefas de natureza exploratória e 
investigativa, que podem ser desenvolvidas na sala de aula, sem a 
necessidade de um grande número de pré-requisitos e evitando, sem 
grandes dificuldades, uma visão da Matemática centrada na execução de 
algoritmos e em “receitas” para resolver exercícios-tipo (ABRANTES, 1999, 
p. 156). 

Utilizando-se de tarefas e problemas abertos, pode-se instigar o aluno a 

descobrir por ele mesmo as diferentes nuances e teoremas que envolvem a 

geometria. Não há necessidade de explicar ou demonstrar os teoremas para que os 

alunos os compreendam - pode-se pedir que explorem  possibilidades e assim 

encontrem suas próprias definições e generalizações.  

Em efeito, o ensino da geometria pode 

[...]contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e 
situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização 
espacial e uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões 
matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução da 
Matemática (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 71).  



26 
 

 Segundo os autores, as investigações geométricas contribuem para perceber 

aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e o teste de 

conjecturas, procurando demonstrar generalizações. Tal contribuição se torna 

importante quando se depara com as palavras de Pavanelo (2004, p. 129) que 

argumenta: 

[...] no mundo moderno, a imagem é extremamente utilizada como 
instrumento de informação, o que torna indispensável a capacidade de 
observar o espaço tridimensional e de se elaborar modos de se comunicar a 
respeito do mesmo.  

Esta fala potencializa ainda mais as atividades de Investigação no que diz 

respeito à utilização da geometria, pois a mesma possibilita a visualização e a 

imagem. Tais atividades podem estimular o aluno a se expressar e a defender suas 

descobertas. 

O Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE) e os Parâmetros 

Curriculares Nacionais (PCNs) também fazem referência aos conteúdos 

geométricos. Nestes são apresentados quatro grandes temas na área da 

matemática que servem como base aos currículos pedagógicos e as avaliações 

externas como Prova Brasil e Saeb (Sistema de Avaliação da Educação Básica). 

Cada tema apresenta descritores que indicam as habilidades e competências de 

Matemática a serem desenvolvidas pelos alunos em cada nível de escolaridade. 

Esses descritores são agrupados por temas que relacionam um conjunto de 

objetivos educacionais. Os temas são: 

- Tema 1 - Espaço e Forma 

- Tema 2 - Grandezas e Medidas 

- Tema 3 - Números e Operações/Álgebra e Funções 

- Tema 4 - Tratamento da Informação 

Como se pode perceber, dois dos quatro temas propostos contemplam 

conteúdos referentes à geometria. Segundo o PDE (BRASIL, 2008), o tema “espaço 

e forma” expressa um elemento necessário para a formação do aluno, para a 

compreensão do espaço com suas dimensões e formas de constituição. Consta nos 

PCNs (1998) que os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo 



27 
 

de Matemática e que, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de 

pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma 

organizada e concisa, o mundo em que vive. O trabalho com noções geométricas 

também contribui para a aprendizagem de números e medidas, estimulando a 

criança a observar, perceber semelhanças, diferenças e identificar regularidades. 

Ainda para os PCNs, o trabalho com espaço e forma pressupõe que o 

professor de Matemática explore situação onde são necessárias construções 

geométricas para visualização e aplicação de propriedades de figuras.   

Este bloco de conteúdos contempla não apenas o estudo das formas, mas 
também as noções relativas à posição, localização de figuras e 
deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas. [...] Além disso, é 
fundamental que os estudos do espaço e forma sejam explorados a partir 
de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas 
e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a 
Matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1998, p. 51). 

Em relação ao tema “grandezas e medidas”, o PDE explicita que os alunos 

devem reconhecer as diferentes situações e aplicações das grandezas físicas para 

identificar o que significa a medida e quais são seus atributos. Na comparação de 

grandezas de mesma natureza e cálculos de estimativa, considera a velocidade, o 

tempo e a massa como exemplos de grandezas. Segundo este tema, espera-se que 

os alunos tenham a compreensão das medidas convencionais para cálculo de 

perímetro, áreas, valores monetários e trocas de moedas e cédulas.  

Nos PCNs este tema tem uma forte relevância social por ser de caráter 

prático e pela possibilidade de variadas conexões com outras áreas do 

conhecimento. Assim: 

Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em 
quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel 
importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do 
conhecimento matemático no cotidiano. 

As atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas 
proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às 
formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos 
números e das operações, da idéia de proporcionalidade e um campo fértil 
para uma abordagem histórica (BRASIL, 1998, p. 52). 

Como se pode perceber, ambos os documentos corroboram para um ensino 

que contenha propostas práticas e voltadas para o cotidiano, trazendo a geometria 

como um meio.  Cada um dos temas - Espaço e Forma; Grandezas e Medidas – traz 



28 
 

ainda descritores que detalham as habilidades e competências que os alunos devem 

adquirir ao longo do Ensino Fundamental, sendo estas diferentes para cada ciclo de 

ensino, conforme Quadro 4. 

Quadro 4 – Descritores do 5º e 9º anos dos temas Espaço e Forma e Grandezas e 

Medidas 

Descritores 5º ano Descritores 9º ano 
Espaço e forma Espaço e forma 

- Identificar a localização e movimentação 
de objeto em mapas, croquis e outras 
representações gráficas; 
- Identificar propriedades comuns e 
diferenças entre poliedros e corpos 
redondos, relacionando figuras 
tridimensionais com suas planificações; 
- Identificar propriedades comuns e 
diferenças entre figuras bidimensionais 
pelo número de lados, pelos tipos de 
ângulos; 
- Identificar quadriláteros observando as 
posições relativas entre seus lados 
(paralelos, concorrentes, 
perpendiculares); 
- Reconhecer a conservação ou 
modificação de medidas dos lados, do 
perímetro, da área em ampliação e/ou 
redução de figuras poligonais usando 
malhas quadriculadas. 

- Identificar a localização e movimentação 
de objeto em mapas, croquis e outras 
representações gráficas; 
- Identificar propriedades comuns e 
diferenças entre figuras bidimensionais e 
tridimensionais, relacionando-as com 
suas planificações; 
- Identificar propriedades de triângulos 
pela comparação de medidas de lados e 
ângulos; 
- Identificar relação entre quadriláteros 
por meio de suas propriedades; 
- Reconhecer a conservação ou 
modificação de medidas dos lados, do 
perímetro, da área em ampliação e/ou 
redução de figuras poligonais usando 
malhas quadriculadas; 
- Reconhecer ângulos como mudança de 
direção ou giros, identificando ângulos 
retos e não retos; 
- Reconhecer que as imagens de uma 
figura construída por uma transformação 
homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas 
que se modificam ou não se alteram;  
- Resolver problema utilizando a 
propriedade dos polígonos (soma de 
seus ângulos internos, número de 
diagonais, cálculo da medida de cada 
ângulo interno nos polígonos regulares); 
- Interpretar informações apresentadas 
por meio de coordenadas cartesianas; 
- Utilizar relações métricas do triângulo 
retângulo para resolver problemas 
significativos; 
- Reconhecer círculo e circunferência, 
seus elementos e algumas de suas 
relações. 

(Continua...) 

 



29 
 

(Continuação) 

Grandezas e medidas Grandezas e medidas 

- Estimar a medida de grandezas 

utilizando unidades de medida 
convencionais ou não; 
- Resolver problemas significativos 
utilizando unidades de medida 
padronizadas como km/m/cm/mm, 
kg/g/mg, l/ml; 
- Estabelecer relações entre unidades de 
medida de tempo; 
- Estabelecer relações entre o horário de 
início e término e/ou o intervalo da 
duração de um evento ou acontecimento; 
- Num problema, estabelecer trocas entre 
cédulas e moedas do sistema monetário 
brasileiro em função de seus valores; 
- Resolver problema envolvendo o cálculo 

do perímetro de figuras planas, 
desenhadas em malhas quadriculadas; 
- Resolver problema envolvendo o cálculo 
ou a estimativa de áreas de figuras 
planas, desenhadas em malhas 
quadriculadas. 

- Resolver problema envolvendo o cálculo 
de perímetro de figuras planas; 
- Resolver problema envolvendo o cálculo 
de área de figuras planas; 
- Resolver problema envolvendo noções 
de volume; 
- Resolver problema envolvendo relações 
entre diferentes unidades de medida. 

Fonte: http://portal.mec.gov.br/ 

Neste quadro podemos perceber a gama de habilidades e competências a 

serem trabalhadas e desenvolvidas no contexto de sala de aula com o tema 

geometria, sendo muitas delas de uso prático no cotidiano das pessoas. Na 

sequência, relato o resumo de algumas dissertações de mestrado que estão 

disponíveis no Brasil e que vinculam investigação matemática no Ensino 

Fundamental. 

 

2.4 Alguns estudos efetivados sobre investigação matemática em dissertações 

Nesta seção apresentarei a revisão bibliográfica realizada sobre alguns 

estudos com foco em investigação matemática. Consultaram-se dissertações e teses 

encontradas no portal da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de 

Nível Superior) que fazem referência a pesquisas que utilizaram investigação 

matemática com alunos do Ensino Fundamental. Para realizar esta pesquisa, utilizei 

as expressões “investigação matemática” e “ensino fundamental”. Encontrei 236 

registros, mas nem todos os resultados incluíam ambos os termos necessitando uma 



30 
 

análise mais detalhada considerando-se o teor do título e, subsequentemente, a 

leitura do resumo. Após esta análise, selecionei cinco (QUADRO 5) que vinham ao 

encontro do que esta pesquisa se propunha a fazer. 

Quadro 5 – Relação das dissertações escolhidas 

Autor Ano Título 

Mari Emilia dos Santos 
Calhau 2007 

Investigação em sala de aula: uma proposta 
de atividades em salas de aula do ensino 
fundamental 

Maria das Graças dos 
Santos Abreu 2008 

Uma investigação sobre a prática 
pedagógica: refletindo sobre a investigação 
nas aulas de matemática 

Luciane de Fatima Bertini 

2009 

Compartilhando conhecimentos no ensino de 
matemática nas séries iniciais: uma 
professora no contexto de tarefas 
investigativas 

Marlova Elizabete Balke 
2011 

Investigação Matemática: Tratamento da 
Informação no Ensino Fundamental 

Maria Gorete Nascimento 
Brum 2012 

Atividades investigativas para o ensino de 
matemática para alunos de 5ª série do 
Ensino Fundamental 

Fonte: Da autora. 

Calhau (2007) realizou seu trabalho de mestrado com o tema “Investigação 

em sala de aula: uma proposta de atividade em salas de aula do ensino 

fundamental”. A autora teve o propósito de trazer contribuições à pesquisa referente 

à aprendizagem dos alunos, por meio da utilização de tarefas de investigação. Para 

tanto, construiu critérios para a elaboração e aplicação de atividades que 

viabilizassem o tema em sala de aula.  

Em sua pesquisa buscou examinar três questões: i) Que atitudes manifestam 

os alunos perante tarefas de investigação? ii) Qual o papel do professor em 

atividades de investigação? iii) Que dificuldades de ensino e/ou aprendizagem 

podem encontrar em uma metodologia centrada na investigação? Para isso ela 

elaborou cinco tarefas centradas na investigação, as quais foram exploradas com 

alunos de 8ª série do Ensino Fundamental. A pesquisa apoiou-se nos pressupostos 

referentes à investigação em sala de aula definidos por Ponte, Brocardo e Oliveira 



31 
 

(2009), ideias trazidas nos PCN(s), assim como as contribuições de alguns 

pensadores.  

O percurso do trabalho foi embasado numa abordagem qualitativa, 

compreendendo essa como a mais compatível com a proposição a ser investida. 

Calhau (2007) concluiu, com sua pesquisa, que, apesar de, inicialmente, a maioria 

dos alunos da turma demonstrar insegurança na capacidade para explorar as tarefas 

de investigação, os resultados foram satisfatórios, sendo constatado o entusiasmo, o 

empenho e o progresso dos alunos durante a resolução das tarefas nas aulas. A 

pesquisa, junto com os dados coletados, mostrou a importância de trabalhar com 

situações em que os alunos possam elaborar estratégias, descobrir e buscar validar 

soluções, formular conjecturas de seu interesse. E, assim, construir aprendizagens 

mais significativas, além de desenvolver atitudes mais positivas frente à resolução 

de problemas na vida real.  

Segundo Calhau (2007), outro ponto positivo que justifica a introdução das 

investigações na aula de Matemática diz respeito ao ambiente de aprendizagem, ou 

seja, as investigações ajudam a estabelecer um ambiente vivo, em que os alunos 

participam ativamente. Para a autora, o trabalho teve o intuito de contribuir, no 

sentido de mostrar um caminho alternativo para o ensino, o qual possibilita 

entusiasmar os alunos para o estudo da matemática, e ajudá-los na busca de uma 

compreensão maior e melhor no mundo em que vivem, desenvolvendo o raciocínio 

lógico e o modo de pensar.  

Abreu (2008), com a pesquisa de mestrado “Uma investigação sobre a prática 

pedagógica: refletindo sobre a investigação nas aulas de matemática”, realizou um 

trabalho com alunos do 5º ano a 8ª série do Ensino Fundamental. O estudo tratou de 

uma investigação que buscou compreender as transformações ocorridas na prática 

pedagógica, num contexto de realização de tarefas exploratório-investigativas nas 

aulas de matemática. Estas tarefas foram propostas de trabalho em que os alunos 

exploraram uma situação aberta, procurando regularidades, formulando problemas, 

criando conjecturas, argumentando e comunicando oralmente ou por escrito as suas 

conclusões.  

O estudo foi realizado a partir de: registros-escritos dos alunos, colhidos em 



32 
 

diferentes momentos da trajetória profissional; registros escritos da professora-

investigadora, colhidos de forma de narrativa, que serviam como diário de campo; 

registros em áudio de dois grupos de trabalho e de uma aula de socialização dos 

resultados. De acordo com a autora, a opção foi pela metodologia qualitativa, pois 

teve como objetivo “conhecer em profundidade” o seu “como” e os seus “por quês”.  

Os resultados, segundo a investigadora, apontaram para a importância da 

pesquisa do professor sobre a sua própria prática, que, neste movimento de 

investigar a sua atuação em sala de aula, acaba por pensar o seu próprio mundo, 

investigando-se, conhecendo-se, colocando-se com os alunos. E, assim, refletindo e 

revendo os saberes já adquiridos, transformando-os em novos saberes e produzindo 

novos conhecimentos para si e para outros professores de matemática.  

Segundo Abreu (2008), ficou evidenciado por meio da análise efetivada, que 

este modelo de trabalho permitiu uma nova relação com o conhecimento, entre 

professor e aluno, professor e o conhecimento matemático, pois a discussão, a troca 

e a socialização possibilitaram a produção de novos saberes tanto para professor 

quanto para aluno. Os alunos se sentiram mais motivados a trabalharem em grupo, 

sentiram menos medo de errar, passando a aprender que o erro faz parte do 

aprendizado. 

 O trabalho, para a autora, ocorreu de forma incompleta diante de todas as 

perspectivas iniciais, devido à insuficiência do tempo para a sua realização, a 

dificuldade do trabalho em sala de aula como professora e pesquisadora, a 

preocupação em construir a documentação para registro e ao distanciamento 

necessário para sua análise. Contudo, Abreu (2008) acredita que o mesmo trará 

contribuições aos estudos já iniciados. 

Bertini (2009), em sua dissertação de mestrado “Compartilhando 

conhecimentos no ensino de matemática nas séries iniciais: uma professora no 

contexto de tarefas investigativas”, procurou pesquisar quais as potencialidades e as 

limitações do uso de tarefas investigativas no ensino de matemática nas séries 

iniciais do Ensino Fundamental a partir das ações e das reflexões de uma 

professora. Analisou de que forma as ações da docente tiveram influência nessas 

questões e identificou mudanças ocorridas na prática pedagógica e na dinâmica de 



33 
 

sala de aula, decorrentes do uso das tarefas investigativas.  

Segundo a autora, as tarefas têm um caráter desafiador, muito diferente das 

questões matemáticas que usualmente são trabalhadas, pois as respostas não 

estão prontas, não há um resultado fechado e tudo isso possibilita que as crianças 

busquem respostas e sintam prazer em encontrá-las. Nesta visão, o fato das tarefas 

não apresentarem resultados fechados, propicia um aumento de repertório das 

crianças na busca das „soluções‟, ficando mais fácil a percepção de que as 

respostas podem ser diferentes, além do que, também passam a notar que as 

variáveis são determinantes para as mudanças das respostas. A investigação 

matemática, de acordo com Bertini (2009), propicia uma forma ampla, complexa de 

pensamento que deve ser desenvolvida nos estudantes.  

Os referenciais teóricos que embasaram seu trabalho dizem respeito a 

estudos sobre as tarefas investigativas centradas em Ernest (1996), Ponte (2005) e 

Skovsmose (2008). Além de que o cenário de mudança proposto ao professor, 

quando utiliza uma nova metodologia, envolvendo questões de medo e insegurança, 

apontando a reflexão e a parceria com demais envolvidos como forma de superá-

las, baseada em Freire (2002) e Penteado e Skovsmose (2008). 

A autora concluiu que as tarefas investigativas podem apresentar-se como 

potencialidades nos diferentes níveis de ensino. Para a pesquisadora, utilizar estas 

tarefas contribui não só para o aprendizado de matemática, mas também para o 

desenvolvimento de atitudes como autonomia e respeito ao outro. Já as dificuldades 

e limitações observadas foram superadas ou minimizadas, por meio da atitude 

reflexiva da professora e do trabalho em parceria e compartilhado com a 

pesquisadora. Segundo o estudo, se a estrutura escolar de ensino tradicional não 

estiver aberta a propostas inovadoras, por mais sucesso que esta proposta possa 

trazer, ela ficará restrita. 

Balke (2011), em sua pesquisa de mestrado intitulada “Investigação 

matemática: tratamento da informação no ensino fundamental”, se propôs a 

investigar em que medida a metodologia de investigação matemática potencializa a 

apropriação de significado dos conceitos, que compõem o bloco de conteúdos de 

tratamento de informação, com uma turma de 8ª série. Ela destacou alguns estudos 



34 
 

de Lopes (1998), Buehring (2006) e os PCNs, que indicam que esse conteúdo 

raramente é trabalho na escola, mas é necessário e importante para a educação 

básica e para a vida das pessoas. 

A autora utilizou uma metodologia baseada em uma abordagem qualitativa. 

Segundo a pesquisadora, o desenvolvimento das atividades de investigação 

matemática possibilitou um ensino contextualizado, além de interações que 

contribuíram e potencializaram a apropriação dos conceitos de tratamento da 

informação, em que o aluno efetivou seu aprendizado, demonstrando interesse em 

sala de aula. Ademais, a investigadora pôde refletir a respeito de sua prática, para 

uma mudança de postura na gestão das aulas.  

Brum (2012) pesquisou as contribuições da utilização de atividades de cunho 

investigativo, na exploração de padrões e regularidades em sequências numéricas e 

geométricas, procurando com isso facilitar a aprendizagem dos alunos. Sua 

dissertação intitulada “Atividades investigativas para o ensino de matemática de 5ª 

série do Ensino Fundamental” foi desenvolvida com alunos de 5ª série do Ensino 

Fundamental. Os dados da pesquisa, de cunho qualitativo, foram obtidos da ação 

direta do professor na sala de aula com os alunos, por meio da observação e dos 

registros no seu diário de campo, além da análise dos trabalhos dos alunos e de 

suas apresentações ao grande grupo. 

Esta, segundo a autora, teve como objetivos explorar o conceito de padrões, 

reconhecer e descrever padrões, continuar o desenho da sequência, generalizar, 

explorar a noção e propriedade dos números pares, ímpares e múltiplos, bem como 

a potenciação de números naturais e trabalhar o conceito de área e perímetro de 

figuras planas. Apenas alguns destes objetivos foram parcialmente atingidos. A 

autora concluiu que as atividades investigativas, trabalhadas com os alunos de 5ª 

série, propiciaram o aumento de interesse e motivação na realização das atividades 

propostas em sala de aula. 

Já a autora Reginaldo (2012) procurou compreender como se desenvolve a 

argumentação matemática em estudantes do 9º ano, através de atividades de 

investigação matemática. Sua dissertação de mestrado acadêmico, “Argumentação 

em atividades investigativas na sala de aula de matemática”, analisou uma 



35 
 

sequência de quatro atividades que foram realizadas com três turmas de 9º ano do 

Ensino Fundamental. 

De acordo com a autora, as intervenções apoiaram-se nos referenciais 

teóricos sobre argumentação (BOAVIDA, 2005), investigações na aula de 

Matemática (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009) e nas experiências 

vivenciadas com esse tipo de atividade, como professora de matemática. Para 

realizar esta pesquisa, a autora utilizou uma abordagem metodológica qualitativa. Os 

instrumentos de coleta de dados foram: observação participante, escritos em 

caderno de campo, gravações em áudio e vídeo e relatórios produzidos pelos 

alunos.  

Segundo Reginaldo (2012), os resultados apontam que os estudantes da 

escola básica são capazes de argumentar nas aulas de Matemática de diversas 

formas: refutar por meio de contraexemplo, provar com o uso de um recurso não 

discursivo, demonstrar, dentre outras. Para a autora é possível desencadear e 

desenvolver a argumentação matemática dos alunos por meio da realização de 

intervenções, como, por exemplo, apresentar a eles as formas de argumentação. A 

falta de tempo, de domínio da linguagem algébrica, dentre outros, se configuraram, 

para a pesquisadora, como obstáculos para a argumentação dos alunos, mas estes 

podem ser contornados.  

Resumindo, pode-se perceber que as pesquisas realizadas, que utilizam a 

metodologia de investigação matemática, têm como base a pesquisa qualitativa. 

Quase todos os estudos realizados procuraram averiguar as potencialidades e 

limitações desta metodologia, bem como instigar nos alunos o interesse e a 

motivação no aprender. Para alguns autores, as tarefas de investigação trazem mais 

autonomia aos estudantes, fazendo com que os mesmos desenvolvam sua 

capacidade intelectual.  

As questões de investigação matemática proporcionam a socialização das 

conjecturas. Os alunos devem apresentar, ao grande grupo, suas descobertas, 

fazendo com que desenvolvam a eloquência e percam o medo de se apresentar. 

Outro fator encontrado nestas pesquisas é o papel fundamental do professor, que, 

ao tentar novas metodologias, modifica sua prática e sua postura em sala de aula, 



36 
 

saindo de sua área de conforto e inovando em sala de aula. 

No próximo capítulo apresento os procedimentos metodológicos, o tipo de 

pesquisa, os sujeitos com quem foi realizada a investigação, bem como os objetivos 

das atividades que foram desenvolvidas durante a investigação pedagógica. 



37 
 

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 

O trabalho foi desenvolvido tendo como base metodológica a pesquisa 

qualitativa envolvendo alunos do 5º ano e 9º ano de duas escolas públicas do Vale 

do Taquari que fazem parte da pesquisa do Observatório da Educação intitulado 

“Estratégias Metodológicas visando à Inovação e Reorganização Curricular no 

Campo da Educação Matemática no Ensino Fundamental”.  

Pesquisa qualitativa, de acordo com Moreira (2011), é aquela preocupada 

com os fenômenos sociais, tendo o ambiente natural como sua fonte direta de dados 

e o pesquisador como seu principal instrumento. Segundo Moreira (2011, p. 58), na 

pesquisa qualitativa “o pesquisador procura um entendimento interpretativo de uma 

realidade socialmente construída na qual ele está imerso.” Uma das abordagens da 

pesquisa qualitativa é o estudo de caso, o qual foi adotado nesta pesquisa. 

Segundo Ludke e André (1986), os estudos de caso enfatizam a interpretação 

em um contexto para compreender melhor a manifestação geral de um problema, as 

ações, percepções, comportamentos e interações do sujeito que devem ser 

relacionados à situação específica onde ocorrem, ou a problemáticas determinadas 

a que estão ligadas. Para Yin (2010), o método estudo de caso permite que os 

pesquisadores preservem características como o comportamento de pequenos 

grupos ao lidar com determinada situação. 

 Conforme Yin (2010, p. 32), “o estudo de caso é preferido no exame dos 

eventos contemporâneos, mas quando os comportamentos relevantes não podem 

ser manipulados.” Nesta pesquisa optou-se por este método, pois se encaixa nas 



38 
 

três condições relacionadas com o estudo de caso segundo Yin, que seriam: a forma 

de questão de pesquisa ao enfatizar o “como” acontece; por não exigir controle dos 

eventos comportamentais e por enfocar eventos contemporâneos. O autor expressa 

como técnicas de pesquisa a observação direta dos eventos que estão sendo 

estudados, além da observação participante, em que pode ocorrer a manipulação 

informal. Em efeito: 

a observação participante é uma modalidade especial de observação na 
qual você não é simplesmente um observador passivo. Em vez disso, você 
pode assumir vários papéis na situação de estudo de caso e participar 
realmente nos eventos sendo estudados (YIN, 2010, p. 138).  

Estando de acordo com os autores citados, participei ativamente, orientando 

as atividades propostas para as turmas das duas escolas, as quais passarei a 

descrever e sintetizar no Quadro 6. 

Uma das escolas é estadual e conta com 295 alunos entre o 1º ano do Ensino 

Fundamental e o 3º Ano do Ensino Médio. Este educandário é o único a acolher 

estudantes para o ensino fundamental e médio do município, recebendo também 

alunos de outras escolas da região, prestando atendimento em três turnos. As 

famílias que compõem a comunidade escolar possuem, entre seus membros, 

operários, trabalhadores liberais, ou agricultores (moradores da área rural do 

município).  

A segunda escola, da rede municipal de ensino, conta com 297 alunos entre 

1º ano e 9º ano. Nesta escola a maioria das famílias obtém seu sustento trabalhando 

na indústria ou em serviços, como o de diaristas. O nível escolar dos pais é Ensino 

Fundamental ou Médio, sendo que participam pouco da vida escolar de seus filhos 

e, geralmente, só comparecem quando chamados (convocados). A escola também 

participa do Projeto Mais Educação para os alunos do 1º ao 5º ano, que 

permanecem o dia todo na escola. 

Quadro 6 – Contexto da pesquisa 

Rede Municipal Estadual 

Nº alunos 5º ano 17 26 

Nº alunos 9º ano 19 18 

Totalizando 80 alunos 

Fonte: Da autora. 



39 
 

Inicialmente, encaminhei para os responsáveis pelos alunos, de ambas as 

escolas, um termo de consentimento livre e esclarecido (Apêndice A), onde expus a 

pesquisa e o envolvimento dos estudantes na investigação, solicitando, também a 

autorização de uso de imagem e voz. 

A proposta de intervenção pedagógica desenvolvida constituiu-se de cinco 

atividades que foram desenvolvidas em cinco encontros de dois a três períodos 

cada. Cada uma das atividades foi explorada nas duas turmas de 5º ano e nas duas 

turmas do 9º ano das escolas citadas. Cabe destacar que as atividades exploradas 

foram iguais em ambos os níveis de escolaridade – 5º ano e 9º ano – para averiguar 

que matemáticas são utilizadas pelos alunos, em diferentes graus de escolaridade, 

quando criam e justificam conjecturas em atividades envolvendo geometria. 

Todas as tarefas de investigação, uma por encontro, foram realizadas em 

grupos de três a quatro alunos, numa tentativa de proporcionar momentos de 

socialização de aprendizagem e troca de saberes. Os alunos deviam explorar as 

atividades, seguindo as orientações dos enunciados e formulando suas próprias 

conclusões. Cada grupo formulou, em cada atividade, conjecturas, relatando as 

mesmas por escrito. Estas foram testadas e reformuladas, quando necessário. Por 

fim, os alunos escreveram e argumentaram suas hipóteses e, posteriormente, foram 

socializadas as descobertas em grande grupo.  

As atividades selecionadas (Apêndice B) são adaptações de diferentes fontes 

e tinham o intuito de desenvolver habilidades de trabalho em grupo, de cooperação 

e da escrita matemática, pois acredito que estes também são fatores importantes no 

desenvolvimento dos alunos. Portanto, todas as atividades foram realizadas em 

pequenos grupos e socializadas em grande grupo. Cabe salientar que a escrita das 

conjecturas e das conclusões foi permanente durante a exploração das atividades. 

O interesse central dessa pesquisa estava na interpretação atribuída pelos 

diferentes sujeitos – 5º ano e 9º ano - nas atividades de investigação matemática 

envolvendo o tema geometria. Para tanto, foram realizadas observações 

participativas, filmagens e diário de campo tanto da pesquisadora quanto dos 

próprios alunos.  

Cada aluno recebeu um caderno no primeiro encontro, que serviu para 



40 
 

realização das atividades e como diário de campo, sendo que os mesmos deveriam 

escrever suas percepções em relação às atividades e à metodologia empregada. Do 

mesmo modo, eu tinha um diário de campo em que colocava minhas percepções 

como professora e pesquisadora, referente à evolução e andamento da pesquisa. 

As filmagens foram realizadas durante a discussão final de cada atividade, 

sendo posteriormente transcritas. Nelas percebi que os alunos acabam fazendo 

novas descobertas e apresentando explicações mais detalhadas oralmente do que 

ao escreverem em seus diários de campo. 

Depois de desenvolvidas as atividades e recolhido o material, realizei a 

análise dos dados obtidos que foi efetivada seguindo os pressupostos da análise de 

conteúdo. Para Morais (1999, p. 9), essa forma de análise se constitui em uma 

metodologia de pesquisa usada para descrever e “interpretar conteúdo em textos e 

documentos ajudando a reinterpretar as mensagens e a atingir uma compreensão 

de seus significados num nível que vai além da leitura comum”. 

Segundo o autor, numa abordagem qualitativa, a construção dos objetivos, 

em parte, pode ocorrer durante o processo, assim como as categorias poderão 

surgir ao longo da pesquisa. Laswell (apud MORAIS, 1999) coloca historicamente 

seis categorias originais: 1) Quem fala? 2) Para dizer o quê? 3) A quem? 4) De que 

modo? 5) Com que finalidade? 6) Com que resultados? Sendo que esta pesquisa 

em particular se limitará a averiguar o conteúdo no que diz respeito à segunda e à 

quarta questão.  

Segundo Morais (1999), na segunda questão o estudo se direciona aos 

argumentos e ideias expressas na mensagem, constituindo uma análise temática. Já 

a quarta questão analisa como a comunicação se processa, seus códigos, estilo e 

estrutura linguística. Ainda de acordo com o autor, a análise se dá em cinco etapas 

(MORAIS, 1999, p. 15): 

 preparação das informações; 

 unitarização ou transformação do conteúdo em unidades; 

 categorização ou classificação das unidades em categorias; 



41 
 

 descrição; 

 interpretação. 

Inicialmente organizei as informações por ano e por atividade, fazendo um 

levantamento geral das conjecturas que os alunos abordaram no diário de campo e 

das discussões filmadas e transcritas, fazendo uma separação inicial dos pontos 

mais relevantes. Após, para cada atividade apontei as principais diferenças e 

semelhanças observadas durante a análise dos dados, comparando, em quadros, o 

que/como cada nível de ensino abordava determinado assunto. Por fim, criei 

categorias voltadas para os principais pontos emergentes da pesquisa e que eram 

visíveis durante a prática pedagógica desenvolvida. 

No próximo capitulo encontram-se a intervenção pedagógica, as respostas 

dos alunos, separadas por atividade desenvolvida, bem como a análise das 

mesmas, imbricada com referencial teórico. 



42 
 

4 INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E ANÁLISE DAS ATIVIDADES 

Neste capítulo será detalhada a intervenção pedagógica, separada por 

atividade/encontro, e será desenvolvida a análise dos resultados, expondo as ideias 

e colocações dos alunos ao realizarem cada atividade. As respostas não estão 

separadas por escolas, pois não era minha intenção compará-las, e sim, verificar as 

respostas por nível de escolaridade. 

No primeiro encontro cada aluno recebeu um caderno, que serviu como diário 

de campo, onde as atividades de investigação foram desenvolvidas. Posteriormente 

os mesmos foram recolhidos e serviram como instrumento de coleta de dados, pois, 

a partir dos diários, foram analisadas as ideias e respostas dos alunos, além dos 

conteúdos matemáticos utilizados para testar e resolver as tarefas de investigação. 

Concomitante, no primeiro encontro explicou-se oralmente para os alunos o 

que são atividades de investigação, como elas funcionavam e o que era esperado 

na resolução das questões. Em princípio, questões investigativas não deveriam ser 

colocadas explicitamente. Nesta visão, os alunos necessitam tomar a iniciativa para 

levantarem suas próprias questões. Mas, pode-se corroborar com Fonseca e 

Abrantes (1999, p. 3) que comentam: 

[...] na prática, o professor tem de gerir uma situação onde há uma tensão 
entre tarefas demasiadamente estruturadas (as quais podem impedir os 
alunos de fazer as suas próprias explorações) e problemas muito abertos 
(os quais podem levar o aluno a não fazer nada ou apenas a uma 
exploração muito pobre). A decisão depende de vários factores, 
nomeadamente, da experiência prévia dos alunos com investigações 
matemáticas.  

Em relação ao trabalho aqui apresentado, os alunos não haviam tido contato 



43 
 

com este tipo de tarefa, daí a opção por tarefas mais direcionadas e que trouxessem 

questionamentos com o propósito de instigar os alunos. Destaco que, apesar disto, 

as mesmas possibilitavam ainda novos questionamentos a partir dos quais o aluno 

poderia, a qualquer momento, levantar conjecturas que fossem do seu interesse. 

Após as explicações iniciais, a primeira atividade foi apresentada. No caso do 

5º ano, fez-se uma leitura conjunta da atividade, pois, segundo Ponte, Brocardo e 

Oliveira (2009, p. 26) “no caso de alunos mais novos, a leitura conjunta do 

enunciado poderá ser imprescindível para a sua compreensão, nem que seja 

somente para esclarecer certos termos com que não estão familiarizados”. 

 Nas próximas sessões apresento detalhadamente a descrição do que ocorreu 

em cada atividade, expressando o objetivo inicial desta e a atividade em sua 

plenitude. Em seguida exponho apontamentos oriundos dos diários de campo e das 

discussões, seguido das minhas percepções a cerca das mesmas e finalizo com um 

quadro comparativo de semelhanças e diferenças referente a alguns pontos comuns 

entre o 5º e 9º anos. 

 

4.1 Descrição dos dados emergentes da atividade 1 

A atividade 1 consistiu na investigação da relação entre perímetro e área de 

figuras planas. O intuito foi trabalhar a relação da área de figuras planas com seu 

formato, evidenciando que figuras que possuem o mesmo valor para o perímetro 

podem ter valores diferentes de áreas. Objetivei ainda, com essa atividade, que o 

aluno descobrisse qual era a figura plana que tinha maior área, com a mesma 

medida de contorno. Assim, entreguei para os alunos o enunciado que segue: 

Atividade 1: Investigando área e perímetro 

Um pedreiro quer construir uma casa e tem material suficiente para 
construir as paredes do contorno da casa. Descubra qual deverá ser o formato 
da casa para que a mesma tenha a maior área possível.  

Material necessário: barbante, papel quadriculado. 
Procedimento: corte um pedaço de barbante com 32 unidades de 

comprimento. Com a ajuda do barbante, desenhe no papel quadriculado: 
- 1 quadrado 
- 2 retângulos com formatos diferentes 
- 1 círculo 
- 1 triângulo 



44 
 

- 1 figura diferente das anteriores 
Calcule a área de cada figura construída, contando o número de 

quadradinhos inseridos em cada figura. O número de quadradinhos de cada 
figura equivale ao valor da área. Complete a tabela: 

Figura Área 

Quadrado  

Retângulo 1  

Retângulo 2  

Triângulo  

Círculo  

Figura qualquer  

Responda: 

 Que figura tem a maior área?  

 Que figura tem a menor área? 

 Qual o retângulo que tem a maior área? 

 Observando as figuras e suas áreas, que outras conclusões você pode tirar 
em relação ao formato da figura necessário para se obter a maior área? 

 Que figura você escolheria para a base de sua casa? Por quê? 
Fonte: Adaptado de ZASLAVSK, 1989. 

Na turma do 5º ano foram definidos conceitos de área e perímetro. Também 

foram questionados quanto ao formato das figuras apresentadas na atividade, 

procurando averiguar se eles conheciam as mesmas. Já no 9º ano, esta explanação 

inicial de conceitos foi realizada no sentido de recordá-los, tendo em vista que os 

mesmos já trabalharam tais conceitos de figuras geométricas planas. 

A seguir apresento algumas respostas aos questionamentos, descritos no 

diário de campo dos alunos: 

 Que figura tem a maior área?  

A maioria dos alunos, tanto do 9º ano quanto do 5º ano, indicou o círculo. 

Observei que as respostas diferentes para esta questão ocorreram pela falta de 

cuidado ao construir as figuras com o barbante no papel quadriculado. O círculo foi a 

figura que os alunos mais tiveram dificuldades para desenhar e exigiu muita 

paciência dos mesmos , sendo que alguns , que queriam terminar logo, não tiveram 

o devido cuidado ao desenhá-lo. 

 Que figura tem a menor área? 

Nesta questão apareceu uma gama de respostas, pois, dependendo de como 

os alunos construíram os retângulos, ou seja, das dimensões usadas, surgiam 



45 
 

imagens com áreas menores. Ao construírem retângulos com as dimensões 9x7, 

eles obtinham 63 unidades quadradas de área e, ao construírem 12x4, obtinham a 

área igual a 48, o que dava bastante diferença. 

 Qual o retângulo que tem a maior área? 

Nesta questão percebi que todos responderam justamente o retângulo que 

mais se aproximava do formato de um quadrado. Assim, o retângulo com a maior 

área encontrado tinha as dimensões 9 quadradinhos por 7 quadradinhos, quando 

este havia sido desenhado. 

 Observando as figuras e suas áreas, que outras conclusões você pode 

tirar em relação ao formato da figura necessário para se obter a maior 

área? 

A maioria dos alunos respondeu o círculo. Comentaram que este fato ocorria 

porque não tinha pontas e sua forma era arredondada. Mas houve alunos que 

obtiveram outras respostas, sendo que as mesmas ocorreram por erros de 

contagem da área ou por figuras mal desenhadas. Este fato ocorreu com mais 

frequência na turma do 5º ano. Algumas respostas que os alunos escreveram nos 

diários de campo: o aluno A173 “o círculo tem a maior área porque seu formato é 

diferente”; o A8 colocou “quanto mais redondo maior vai ser [a área]”. Nestas duas 

colocações queriam expressar que o círculo, ao contrário das demais figuras 

construídas, não tinha pontas e, por isso, era uma figura diferente e sua área era 

maior que as demais. 

 Que figura você escolheria para a base de sua casa? Por quê? 

Nesta questão apareceram basicamente duas respostas: o quadrado e o 

retângulo. A3 escreveu “quadrado, porque ele tem os lados iguais e dá menos 

trabalho”. A última parte da resposta deve-se ao trabalho de construir as paredes de 

uma casa de base quadrada ou de uma casa de base redonda. De acordo com as 

                                                             
3
 Irei utilizar A1, A2, ...para nomear os alunos do 5º ano e B1, B2... para nomear os alunos do 9º ano, 

quando utilizar depoimentos e respostas escritas nos diários de campo dos mesmos, com o objetivo 
de preservar o anonimato dos mesmos. 

 



46 
 

respostas, posso inferir que as justificativas para a construção de casas quadradas 

estavam relacionadas ao comodismo que existe atualmente. A maior parte dos 

projetos arquitetônicos atuais, bem como dos materiais e móveis são projetados em 

formatos retangulares, o que tornaria difícil e com um maior custo financeiro fazer 

diferente. Os alunos alegaram que na nossa volta todas as casas são quadradas ou 

retangulares, como coloca A16: “escolheria o retângulo para ser a base da minha 

casa, por que geralmente as casas são retangulares.” 

Após cada grupo desenvolver a atividade e escrever seus apontamentos e 

conclusões, foi iniciada a socialização destas em grande grupo. Então, os alunos 

colocaram suas conjecturas, explicaram como acharam as mesmas e trocaram 

ideias com os demais colegas da classe. Este debate, inicialmente, foi lento, pois os 

alunos falavam pouco e eram bastante diretos em suas justificativas. Tive que fazer 

vários questionamentos para que as discussões fluíssem. A partir do momento em 

que começaram a contribuir mais, o debate se tornou enriquecedor, com os alunos 

levantando diversas conjecturas que os grupos não haviam descoberto.. Ao colocar 

no quadro alguns dados, os discentes acabavam percebendo e apontando novas 

conjecturas. Seguem algumas hipóteses dos alunos que surgiram durante as 

discussões.   

No 9º ano: 

 - Uma das observações realizadas pelos alunos diz respeito à área dos retângulos e 

sua relação com o formato. Os alunos perceberam que, quanto mais próximas forem 

as medidas dos lados, altura e largura de um retângulo, maior será a sua área. Esta 

hipótese surgiu, ao colocar, no quadro, todos os retângulos diferentes formados 

pelos grupos, bem como suas medidas e áreas (FIGURA 1). 

 

 

 

 

 



47 
 

Figura 1 – Retângulos diferentes encontrados pelos grupos 

                
 

13               

  
  

                            

  
 

3   
 

Área 39 
  

    

  
  

                            

  
        

12 
      

  

  
  

                        
 

  

  
 

4   
 

Área 48 
 

  
 

  

  
  

  
          

  
 

  

  
  

                        
 

  

  
      

11 
        

  

  
  

                      
  

  

  
  

  
         

  
  

  

  
 

5   
 

Área 55 
 

  
  

  

  
  

  
         

  
  

  

  
  

                      
  

  

  
      

10 
        

  

  
  

                    
   

  

  
  

  
        

  
   

  

  
 

6   Área 60   
   

  

  
  

  
        

  
   

  

  
  

  
        

  
   

  

  
  

                    
   

  

                                  
Fonte: Da autora. 

 - Os alunos chegaram à conclusão de que o círculo tinha a maior área, mas não 

encontraram uma explicação para isso, limitando-se a dizer que o fato ocorria 

porque ele era arredondado e não tinha cantos. 

 - Quando questionados quanto ao formato da base da casa, a maioria escolheu o 

quadrado ou o retângulo, justificando que as casas normalmente têm esses 

formatos. E quando questionados do por que não fazer a base da casa no formato 

de um círculo, apenas responderam que as casas não são assim e que seria 

estranho ter uma casa nesse formato. 

No 5º ano: 

 - Como alguns alunos do 5º ano tiveram dificuldades em desenhar o círculo, este 

nem sempre foi a figura com a maior área. Este fato foi contornado, com a 

professora desafiando os alunos a observarem suas figuras, reparando se as 



48 
 

mesmas eram realmente círculos, ou apenas pareciam figuras arredondadas. Ao 

perceberem que suas figuras não eram realmente círculo, eles aceitaram que a 

figura que tinha a maior área era esta e passaram a debater o porquê disto. 

Chegaram à conclusão de que era por que não tinha pontas. 

 - Quando questionados em relação ao formato da base da casa, os alunos do 5º 

ano tiveram respostas iguais às do 9º ano. A diferença foi no questionamento da 

possibilidade de uma casa com base redonda. As respostas desses alunos foram 

diversas. Alguns disseram que não se poderia construir uma casa com a base em 

formato de círculo, pois os móveis que se encontra nas lojas são basicamente em 

formatos retos. Uma aluna chegou a comentar que não poderia limpar a casa com o 

rodo, sendo que este é reto e não alcançaria as paredes. Em ambas as turmas do 5º 

ano, comentaram que “a casa vai sair rolando”, pois alguns discentes tinham a ideia 

de que uma casa redonda seria semelhante a uma bola e não imaginavam que 

apenas a base da casa seria redonda. A seguir, apresento, no Quadro 7, 

observações por mim efetivadas durante os encontros, a partir da fala dos alunos ao 

realizarem as atividades, bem como das falas dos diários dos mesmos. 

Quadro 7 – Semelhanças x Diferenças entre 5º ano e 9º ano na primeira atividade 

 5º ano 9º ano 

Quadrado Os alunos tinham o 
conhecimento de que um 
quadrado tem os quatro lados 
iguais, mas, para formá-lo, 
usaram o método da tentativa 
e erro. 

Os alunos tinham a noção de que o 
quadrado tem quatro lados iguais. 
Para formá-lo, com um barbante que 
tinha 32 unidades, bastava dividir 
por 4. Assim, cada lado deveria ter 8 
unidades de comprimento. 

Retângulo Muitos acabaram fazendo dois 
retângulos iguais, apenas 
invertidos, sem perceber que 
eram idênticos. Foi necessária 
minha intervenção para que 
percebessem que a figura era 
a mesma. Para criar 
retângulos diferentes, 
utilizaram tentativas e erro, 
construindo diversas formas 
com a medida do barbante. 

Na hora de fazer um retângulo 
diferente do primeiro, alguns 
utilizaram como estratégia o fato de 
que se aumentar uma unidade de 
medida em um lado, se deveria 
diminuir uma unidade para o outro 
lado. 

(Continua...) 

 



49 
 

(Continuação) 

Triângulo Para desenhar o triângulo, 
muitos alunos, primeiro, 
tentaram fazer o desenho com 
lápis. Perceberam que o 
triângulo não seguiria as linhas 
do papel quadriculado. 
Observando os desenhos, 
foram visualizados triângulos 
retângulos (com um ângulo de 
90º) ou triângulos cujo formato 
se aproximava de um triângulo 
equilátero (todos os lados 
iguais). 

Para desenhar o triângulo, em 
muitos casos, os alunos se 
ajudaram mutuamente. Assim, um 
aluno segurava as pontas do 
barbante e o outro dava forma para 
a figura, marcando com um lápis as 
pontas. Apenas quatro alunos 
tentaram desenhar com um lápis, 
antes de usar o barbante. Quanto ao 
tipo de triângulo, apesar de 
predominarem os triângulos 
equiláteros, houve figuras que 
fugiram deste padrão. 

Círculo Apareceram dificuldades em 
construir o círculo, pois muitos 
fizeram figuras disformes 
(FIGURA 2), mas 
arredondadas, e diziam que 
era um círculo. Outros 
acabaram desenhando um 
círculo colando o barbante 
direto, sem testar primeiro 
(FIGURA 3). Isso gerou 
algumas figuras com 
sobreposição de barbante. 

Para construir o círculo, alguns 
grupos tentaram usar o transferidor. 
Tiveram mais cuidado para formar a 
figura do que os alunos do 5º. ano, 
tentando se aproximar o máximo 
possível  de um círculo. 

Figura qualquer O que chamou a atenção é que, em ambas as turmas, os alunos 
construíram figuras disformes como coração, gota, bota... (FIGURA 
4). Poucos criaram uma nova figura geométrica conhecida.  

Área das figuras Apenas dois alunos calcularam 
a área do quadrado e dos 
retângulos multiplicando os 
lados. Os demais fizeram a 
contagem dos quadradinhos. 
Tiveram dificuldades para 
entender o que fazer com os 
pedaços de quadrados que 
ficaram aparecendo nas 
figuras do círculo e do 
triângulo.  

Para saber a área do quadrado e 
dos retângulos, os alunos já 
calculavam, fazendo lado vezes 
lado. No triângulo, círculo e demais 
figuras também contaram os 
quadradinhos, apesar de 
comentarem que sabiam a fórmula 
para calcular a área do triângulo. 

Grupo O trabalho em grupo em ambos os casos foi promissor. Houve 
cooperação entre os colegas, apesar de ainda haver alunos mais 
inseguros ou tímidos que acabavam colaborando pouco com ideias e 
opiniões. Ocorreram momentos em que os alunos, ao descobrirem 
algo novo ou diferente, explicavam para os demais colegas do grupo, 
tentando “provar” sua teoria. Um exemplo dessa situação está na 
Figura 5. 

(Continua...) 



50 
 

(Continuação) 

Escrita Esta foi a grande dificuldade dos alunos, pois ocorreram poucos 
registros escritos das discussões e hipóteses levantadas pelo grupo. 
Os alunos se limitaram à escrita, mesmo quando incentivados a 
colocarem no papel suas falas e discussões, alegando que não 
sabiam como escrever determinada ideia. 

Fonte: Da autora. 

 

Figura 2 – Exemplo de “círculo” confeccionado por alunos do 5º ano 

 

Fonte: Da autora. 

Figura 3 – Círculo com barbante sobreposto 

 

Fonte: Da autora. 

 



51 
 

Figura 4 – Exemplos de figura qualquer, turmas de 5º ano e 9º ano 

 

Fonte: Da autora. 

Figura 5 – Um aluno explicando para o colega sua conjectura 

 

Fonte: Da autora. 

 Com esta atividade inicial, os alunos tiveram um primeiro contato com esta 

metodologia, o que causou certo desconforto inicial. Após iniciarem o trabalho 

prático, percebi que os mesmos foram se soltando e conseguiram desenvolver a 

atividade. Nesta atividade, os alunos conseguiram explorar a relação da área de 

figuras planas com seu formato, percebendo que figuras que possuem o mesmo 

valor para o perímetro podem ter valores diferentes de áreas. E, apesar deles 

concordarem que o círculo era a figura com maior área, eles não conseguiam 

explicar a causa desta conclusão.   

 



52 
 

4.2 Descrição dos dados emergentes da atividade 2 

 A segunda atividade desenvolvida teve como objetivo a investigação da 

relação entre perímetro e área ao modificar a medida dos lados do quadrado. 

Atividade 2: Relação entre área e perímetro 

Utilize a grade a seguir para representar o que se pede e responda às 
questões, considerando o lado do quadrado A (quadrado escuro) igual a uma 
unidade: 

                    

                    

                    

                    

                    

                    

                    

                    

 A                   

                    

 

Duplicando-se a medida de cada lado do quadrado “A”, duplica-se o 
perímetro? 

 Duplicando-se a medida de cada lado do quadrado “A”, duplica-se a área? 

 O que acontece com o perímetro e com a área do quadrado ao triplicarem-se 
as medidas dos lados? 

 O que acontece com o perímetro e com a área ao multiplicarmos por quatro as 
medidas dos lados do quadrado “A”? 

 E ao dividirmos pela metade a medida de seus lados, qual será a área do novo 
quadrado? 

 O que se pode concluir destas atividades? 
Fonte: Adaptado de KNIJNIK, BASSO e KLÜSENER, 1996. 

As dificuldades ocorreram em relação ao entendimento do que estava sendo 

solicitado no problema, principalmente devido à nomenclatura “duplica-se” e 

“triplicarem-se”. Na questão em que foi solicitado o que aconteceria se dividíssemos 

pela metade a medida dos lados do quadrado e qual seria a área, houve muita 

discussão sobre como poderiam fazer esta divisão. 



53 
 

Ao analisar os diários de campo dos alunos foram encontradas respostas 

curtas e sucintas. Os alunos se limitaram, muitas vezes, a escrever o mínimo 

necessário para responder às questões. Ao serem questionados quanto o que 

acontece com o perímetro e a área, ao dividir pela metade a medida de seus lados 

(quadrado A inicial), apareceram diferentes respostas. 

- No 5º ano muitos alunos não entenderam esta questão e oito, de um total de 43 

alunos, não conseguiram fazê-la. A maioria colocou, como A12:“o perímetro é 2 e a 

área 0,25”. Outros ainda colocaram, como A19: “A área é a metade da metade: 

0,25”. 

- No 9º ano apareceram respostas como a do B19, mas também surgiram respostas 

utilizando frações como do B5 que colocou que a área “é um quarto”. 

 Ao serem questionados quanto ao que eles concluíram com esta atividade, os 

alunos registraram em seu diário de campo escritos semelhantes aos que seguem:  

5º Ano: 

A12 - Que você pode achar a tabuada do 4 no perímetro. 

A14 - Que os números seguem uma ordem. 

A21 - Conclui que temos que determinar a área e o perímetro, posso fazer o 
lado vezes ele mesmo assim saberei o numero da área. 

9º Ano: 

B2 - Aprendemos mais profundamente como se calcula área e perímetro. 

B3 - Calcular perímetro e área, e aprendi também que perímetro e área são 
coisas muito diferentes, antes eu achava que era quase a mesma coisa. 

Nestas falas percebi o quanto os alunos são sucintos ao escreverem suas 

considerações, expressando de forma direta, com parcimônia de palavras, suas 

conclusões. Em muitas ocasiões expressaram que, por meio desta atividade, 

conseguiram perceber a diferença entre área e perímetro, dando-se conta de que os 

dois conceitos são distintos e na atividade ao duplicarmos, triplicarmos... a medida 

do lado, tanto a área quanto o perímetro dão origem a uma generalização, a área e 

o perímetro não aumentam de forma