UNIVERSIDADE DO VALE DO TAQUARI - UNIVATES
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE
CIÊNCIAS EXATAS
O QUE '( )f x NOS DIZ SOBRE ( )f x : UMA ABORDAGEM COM
USO DE TECNOLOGIA COMPUTACIONAL
Gisele Scremin
Lajeado, janeiro de 2019
Gisele Scremin
O QUE '( )f x NOS DIZ SOBRE ( )f x : UMA ABORDAGEM COM
USO DE TECNOLOGIA COMPUTACIONAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
Stricto Sensu Mestrado Profissional em Ensino de
Ciências Exatas, da Universidade do Vale do Taquari -
Univates, como exigência parcial para obtenção do grau
de Mestre em Ensino de Ciências Exatas.
Orientadora: Prof. Drª Maria Madalena Dullius
Lajeado, janeiro de 2019
Dedico esta dissertação aos meus grandes exemplos e
apoiadores de toda minha caminhada, meu filho Jonatam
Palacios, esposo Jorge Luis Palacios Felix, meu pai Darci Luis
Scremin e minha mãe Elvenia Angelina J. Scremin, pois tudo que
conquistei até hoje foi porque vocês estavam ao meu lado me
apoiando, incentivando, oferecendo forças para seguir em frente
e não desistir nos momentos de angústia e dúvida.
Gisele Scremin
Janeiro/2019
AGRADECIMENTOS
Ao longo da caminhada de pesquisa, pude contar com o apoio de algumas
pessoas que sempre estiveram ao meu lado e que são simplesmente especiais, além
de ter a oportunidade de conhecer outras, que foram muito significativas, ambas me
apoiaram e me incentivaram para eu chegar a alcançar mais um grande objetivo na
vida: concluir o mestrado.
Agradeço de coração a todos que contribuíram para que o sonho se
concretizasse, participando de alguma forma e em alguma etapa dessa importante
conquista. Não terei como mencionar todos, porém não posso deixar de citar alguns.
Deus esteve sempre comigo, dando-me força, ânimo e, sobretudo, crença para
não desistir, para persistir na luta por este sonho, que passou a ser, também, um
objetivo de vida. A Ele, minha eterna gratidão.
Agradeço de modo especial ao meu filho Jonatam e ao meu esposo Jorge, que,
embora muitas vezes privados de minha dedicação, estiveram ao meu lado sempre,
acalmando o meu coração nos momentos difíceis e que, com carinho e palavras
singelas, iluminaram meus dias. Obrigada pela parceria, pelo amor incondicional e
pela vibração a cada etapa vencida na busca dessa vitória. Vocês me inspiram a viver
e a conquistar novas metas.
Aos meus pais Darci e Elvenia, que com orgulho torceram pela minha
conquista, sempre me poupando de situações que pudessem trazer preocupação,
evitando, assim, que eu me desviasse do foco principal, obrigada. A educação por
vocês proporcionada, suas orações e seus conselhos me fazem acreditar que é
possível ir além.
A todos os familiares que auxiliaram de alguma forma para que esse sonho se
concretizasse, em especial, irmão, avós, tios, tias, primos, primas, cunhada e
sobrinhos, a minha gratidão.
Agradeço a todos os professores do curso, especialmente, a minha orientadora,
professora Maria Madalena Dullius. Obrigado, mestre, por exigir de mim muito mais
do que eu imaginava ser capaz de fazer. Manifesto aqui minha gratidão eterna por
compartilhar a sua sabedoria, o seu tempo e a sua experiência.
A esta instituição tão imponente, bem como a todas as pessoas que a tornam
assim tão especial, agradeço pelo ambiente propício à evolução e ao crescimento
pessoal, educacional e profissional. Destaco que ao longo de todo meu percurso eu
tive o privilégio de trabalhar de perto com os melhores professores, educadores e
orientadores, sem os quais não seria possível estar aqui hoje com o coração repleto
de orgulho.
Agradeço também, de modo especial, à escola de Ensino Fundamental Padre
Traezel, a qual abriu suas portas para que eu pudesse realizar minhas atividades
complementares e práticas pedagógicas, em uma parceria que deu certo e que nos
enriqueceu. Assim, à direção, à coordenação pedagógica, às professoras, aos alunos,
aos funcionários, enfim, a todos o meu sincero agradecimento.
RESUMO
A derivada é um dos conceitos fundamentais na aprendizagem da matemática
universitária, sendo suporte na construção de outros conceitos mais avançados.
Resultados da literatura nacional e internacional têm apontado que alunos têm
apresentado dificuldades no aprendizado desse conceito que, em sua maioria, estão
relacionadas à falta de compreensão conceitual. Neste sentido, a presente pesquisa,
de cunho qualitativo, vinculada ao Programa de Pós-graduação em Ensino de
Ciências Exatas da Universidade do Vale do Taquari – UNIVATES, alicerçada em
estudos sobre a importância do uso de tecnologias computacionais em situações de
ensino e aprendizagem de Matemática e de Cálculo, teve por objetivo desenvolver
uma intervenção pedagógica para o ensino de derivadas através de atividades
desenvolvidas com apoio do software Desmos, a fim de verificar as possíveis
potencialidades do uso dessa ferramenta para as diferentes abordagens da Derivada.
Durante o estudo, foram coletados dados por meio do registro das respostas das
atividades realizadas pelos alunos (em papel), questionário de avaliação da proposta,
áudios, fotos e diário de campo da pesquisadora. A intervenção foi desenvolvida em
forma de Oficina Pedagógica junto a um grupo de alunos do curso de Licenciatura em
Matemática de uma Instituição de Ensino da rede particular do Estado do Rio Grande
do Sul. A análise de episódios indica que o uso de um ambiente informatizado pode
contribuir para que os alunos se tornem mais ativos frente ao processo de ensino e
de aprendizagem, sintam-se instigados a pensar, experimentar e testar aquilo que
muitas vezes lhe é transmitido como um conhecimento pronto e acabado, também,
sintam-se motivados a participarem e trocarem ideias, fazendo com que ocorra a
socialização do conhecimento em construção. Como potencialidades do uso do
software Desmos destacaram-se a visualização e a experimentação proporcionados
através da manipulação dos gráficos, construção de tabelas, marcação e seleção de
pontos, que foram mediados pelas atividades propostas e possibilitaram a
compreensão da derivada de modo mais enriquecedor, principalmente em seus
aspectos geométrico e gráfico.
Palavras-chave: Derivada. Ensino. Desmos.
ABSTRACT
The derivative is one of the fundamental concepts in the learning of university
mathematics, being supported in the construction of other more advanced concepts.
Results from the national and international literature have pointed out that students
have presented difficulties in learning this concept, which, for the most part, are related
to a lack of conceptual understanding. In this sense, the present qualitative research,
linked to the Postgraduate Program in Teaching of Exact Sciences of the University of
Vale do Taquari - UNIVATES, based on studies on the importance of the use of
computational technologies in situations of teaching and learning of Mathematics and
Calculus, wasaimed to develop a pedagogical intervention for the teaching of
derivatives through activities developed with the support of the software Desmos, in
order to verify the potential of the use of this tool for the different approaches of the
Derivative. During the study, data were collected by recording the responses of the
activities carried out by the students (in paper), the proposal evaluation questionnaire,
audios, photos and field diary of the researcher. The intervention was developed in the
form of a Pedagogical Workshop with a group of students of the Licenciatura degree
in Mathematics of a Teaching Institution of the private network of the State of Rio
Grande do Sul. The analysis of episodes indicates that the use of a computerized
environment can help students become more active in the processes of teaching and
learning, feel encouraged to think, experiment and test what is often passed on to them
as a ready and finished knowledge, also, feel motivated to participate and exchange
ideas, causing the socialization of knowledge under construction to occur. The
visualization and experimentation provided through the manipulation of the graphs, the
construction of tables, the marking and selection of points, which were mediated by
the proposed activities, enabled the understanding of the derivative in a more enriching
way, in its geometric and graphic aspects.
Keywords: Derivative. Teaching. Desmos.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Mapa representações da Derivada............................................................21
Figura 2 – Reta tangente a uma circunferência..........................................................27
Figura 3 – Reta tangente à curva no ponto A.............................................................27
Figura 4 – Comportamento de uma função................................................................32
Figura 5 – Retas tangentes a curva de f ..................................................................33
Figura 6 – Gráfico da função e sua derivada primeira................................................35
Figura 7 – Produção de matéria seca de feijão..........................................................41
Figura 8 – Esboço do galpão......................................................................................41
Figura 9 – Resposta apresentada para diferenciação entre retas do aluno E15........80
Figura 10 – Resposta à atividade A1 apresentada pelo aluno E2...............................81
Figura 11 – Respostas à atividade A1 dos alunos E6 e E13......................................82
Figura 12 – Resposta à Atividade A1 apresentada pelo aluno E1..............................82
Figura 13 – Resposta à Atividade A2 apresentada pelos alunos E3, E4, E5............85
Figura 14 – Resposta à Atividade A2 dos alunos E6, E7, E8....................................86
Figura 15 – Resposta do aluno E1 à atividade A3.....................................................88
Figura 16 – Resposta à Atividade A4 do aluno E2.....................................................91
Figura 17 – Resposta ao Item d do aluno E3 .............................................................97
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Ângulo formado entre a reta e o eixo x ............................................22
Gráfico 2 – Ângulo Agudo..........................................................................................23
Gráfico 3 – Ângulo Obtuso........................................................................................23
Gráfico 4 – Ângulo Reto.............................................................................................23
Gráfico 5 – Reta paralela ao eixo x .........................................................................23
Gráfico 6 – Coeficiente angular da reta através de dois pontos.................................24
Gráfico 7 – Limite de uma função...............................................................................25
Gráfico 8 – Reta tangente a uma curva......................................................................28
Gráfico 9 – Reta tangente e reta secante à curva.......................................................29
Gráfico 10 – Aproximação de Q a P............................................................................29
Gráfico 11 – Aproximação de Q em P pela esquerda.................................................30
Gráfico 12 – Número de Artigos/Ano..........................................................................58
Gráfico 13 – Retas e Curva da função correspondente à Atividade A1......................79
Gráfico 14 – Trajetória da bola....................................................................................84
Gráfico 15 – Gráfico utilizado na Atividade A3.............................................................87
Gráfico 16 – Gráfico utilizado na Atividade A4............................................................90
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Critérios para seleção dos artigos.............................................................55
Quadro 2 – Trabalhos analisados sobre o ensino de derivadas..................................55
Quadro 3 –Teorias utilizadas nos artigos analisados..................................................59
Quadro 4 – Distribuição dos artigos em categorias e subcategorias...........................60
Quadro 5 – Situação dos alunos por semestre............................................................72
Quadro 6 – Atividades da Intervenção Pedagógica e Objetivos.................................72
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Representação numérica do limite em um ponto......................................26
Tabela 2 – Resultados encontrados para o problema.................................................38
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................12
2 ABORDAGEM TEÓRICA.......................................................................................18
2.1 O estudo da derivada...........................................................................................19
2.1.1 Análise gráfica da função através da função derivada......................................31
2.1.1.1 Análise gráfica da função através do gráfico da função derivada..................34
2.1.1.1.1 Aplicações da derivada...............................................................................36
2.2 As dificuldades e problemas enfrentados no ensino de derivadas.......................42
2.3 O uso das Tecnologias Computacionais para o ensino e aprendizagem de
Matemática.................................................................................................................46
2.3 .1O uso das Tecnologias Computacionais para o ensino e aprendizagem de
Cálculo................................................................................................................. 48
2.4 Mapeamento dos trabalhos sobre derivadas........................................................55
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................68
3.1 Caracterização da pesquisa.................................................................................68
3.2 Sujeitos e contexto da pesquisa...........................................................................70
3.3 A proposta de Intervenção...................................................................................72
3.4 Instrumentos da coleta de dados........................................................................73
4 INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA E ANÁLISE .....................................................76
4.1 Descrevendo as Atividades..................................................................................77
4.2 Analisando o questionário....................................................................................93
4.3 Analisando a Intervenção Pedagógica.................................................................97
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................101
REFERÊNCIAS........................................................................................................106
APÊNDICES.............................................................................................................114
ANEXOS..................................................................................................................125
12
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho, vinculado ao Programa de Pós-graduação em Ensino de
Ciências Exatas da Universidade do Vale do Taquari – UNIVATES, e alicerçado em
estudos sobre a importância do uso de tecnologias computacionais em situações de
ensino e aprendizagem de Cálculo Diferencial, visa propor e investigar uma
abordagem alternativa para o conteúdo de derivadas, utilizando o software Desmos
como ferramenta de apoio para o desenvolvimento das atividades propostas, em
forma de Oficina Pedagógica direcionada a alunos de Licenciatura em Matemática,
que cursam ou já cursaram a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I.
A motivação de trabalhar com esse tema é decorrente de inquietações surgidas
no decorrer de minha formação acadêmica, principalmente na graduação, como a
quantidade expressiva do uso de técnicas para o ensino dos conceitos elencados na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, o que me levou a questionar a
aplicabilidade destes conteúdos. E também questionamentos surgidos ao
acompanhar o trabalho de meu esposo como professor de disciplinas relacionadas à
área de Matemática em cursos de graduação de uma Universidade Federal do RS,
principalmente, da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, considerando o baixo
desempenho e aproveitamento dos alunos e a dificuldade destes em compreender o
conteúdo - conceito de derivada - considerado base da disciplina citada e de outras.
13
Estas inquietações me levaram a estudar e analisar o conceito de derivada de
modo mais minucioso, pois quando questionada sobre o conceito e suas definições,
percebi que não tinha domínio ou conhecimento suficiente sobre sua base conceitual,
percebendo deste modo, a necessidade de ampliar meus conhecimentos e buscar
modos de facilitar seu ensino e proporcionar melhoras em seu aproveitamento nos
cursos de Cálculo Diferencial e Integral.
Diante deste cenário, no ano de 2016 retomei a conclusão de minha
especialização em TIC’s aplicadas à Educação, pela Universidade Federal de Santa
Maria, na modalidade Ead, e em 2017 iniciei o mestrado mencionado. Programas que
oportunizaram a reflexão e a busca por metodologias e recursos que pudessem
contribuir para a aprendizagem do conceito de Derivada.
Definido o tema de trabalho, tanto para a especialização quanto para o
mestrado, e acreditando que o uso de tecnologias pode favorecer um ambiente mais
dinâmico, motivador e capaz de promover melhor a compreensão de conceitos
matemáticos, optamos pela busca e seleção de um software, como recurso facilitador
na aprendizagem do conceito derivada como inclinação da reta tangente a um ponto,
taxa de variação instantânea e a análise do comportamento de funções através do
gráfico da função derivada.
Após leituras de aprofundamento teórico acerca de tecnologias computacionais
para o ensino de Cálculo Diferencial e Integral, notou-se que alguns softwares já vêm
sendo explorados há muito tempo. Percebeu-se, então, a oportunidade associada à
necessidade de testar algo novo, que explorasse gráficos e que fosse de fácil acesso
e manuseio, pois muitos softwares requerem um aprofundamento maior referente a
seus comandos e programação, o que muitas vezes pode prejudicar o andamento das
atividades e da aula, além de pouco favorecer o seu uso devido à falta de tempo dos
professores para realizar um aprofundamento sobre a tecnologia a ser utilizada.
Nesse sentido, como resultado da pesquisa inicial sobre os softwares,
encontrou-se o software Desmos, ainda pouco conhecido e explorado, mas que
mostrou potencial para uso em atividades de exploração de funções e gráficos, em
um trabalho de dissertação de Olmo (2016) da Universidade Internacional de La Rioja,
na Faculdade de Educação, de Madrid, em 2016. Em busca por mais informações
14
sobre o Desmos e por meio da interação com suas ferramentas, foi possível perceber
que seus comandos são acessíveis, de fácil compreensão e manuseio. Ainda,
verificou-se que ele tem ótima saída de gráficos, permite explorar o gráfico de
derivadas e demais funções, possibilita a construção de tabela de valores e marcação
de pontos, sendo que mais detalhes do software podem ser encontrados no Anexo A.
Ademais, o recurso, além de ser gratuito, pode ser acessado em qualquer
dispositivo que esteja on-line, ou utilizado como aplicativo em modo off-line,
apresentando a vantagem de não requer a sua instalação ou condicionar à
necessidade de cadastro. Os fatores citados foram decisivos na seleção do software
para o desenvolvimento do projeto de intervenção.
Segundo Marin (2009), o uso de recursos computacionais, como softwares, nas
aulas de Cálculo pode contribuir para a abordagem conceitual, além de expandir
possibilidades de trabalho com diferentes abordagens e representações algébricas e
geométricas, de modo rápido e articulado. O autor também afirma que a tecnologia
possibilita a organização de situações pedagógicas com maior potencial de
aprendizagem.
Desse modo, observando que as tecnologias são atrativas e estão presentes
em nosso dia a dia, oferecendo a possibilidade de exploração de várias formas de
representações como a algébrica, tabular, gráfica e simbólica para o conceito de
derivada, essa pesquisa vem propor uma intervenção com uso do software Desmos,
baseada na seguinte questão de pesquisa: “Como o uso do software gráfico
Desmos e as atividades poderão influenciar nas diferentes abordagens do
conceito da Derivada? ”
O objetivo principal desta pesquisa é investigar as potencialidades do uso do
software gráfico Desmos para o ensino e a aprendizagem de Derivadas, tendo como
público alvo alunos de um Curso de Licenciatura em Matemática de uma Instituição
de Ensino Privada do Estado do Rio Grande do Sul, sendo a intervenção aplicada em
formato de Oficina Pedagógica durante a Semana acadêmica do Curso.
Como objetivos específicos, a pesquisa pretende:
15
Desenvolver uma proposta de intervenção para o ensino e a
aprendizagem de Derivadas com auxílio do software Desmos;
Promover a integração dos aspectos gráficos, algébricos e geométricos
do conceito da Derivada;
Verificar as potencialidades do software Desmos para exploração do
conceito de Derivada.
A utilização da Oficina Pedagógica no ensino de derivadas pode promover os
objetivos almejados no que tange à compreensão do conceito da derivada e suas
interpretações, pois, segundo Vieira e Volquind (2002), trata-se de uma metodologia
fundamentada na realização de tarefas coletivas, por meio da promoção de
investigação, ação e reflexão, de modo a integrar conhecimentos teóricos à sua
aplicação.
Além disso, de acordo com Castellano e Coco (2006), as oficinas pedagógicas
propõem que professores e alunos trabalhem juntos, sem que haja uma dicotomia
hierárquica de papéis, haja vista que o conhecimento não é repassado do professor
para o aluno, mas é construído pelo aluno no decorrer do processo de ensino e
aprendizagem, o que ressalta sua importância no contexto de aplicação.
No desenvolvimento desta pesquisa, considerou-se o uso de recursos
computacionais como ferramentas educacionais, as quais precisam ser vistas como
apoio, como meios, que permitem realizar atividades de aprendizagem de forma
diferente das empregadas anteriormente (POZO, 2004), possibilitando a criação de
situações de aprendizagem ricas, complexas e diversificadas, proporcionando a
melhora na qualidade de ensino e de aprendizagem.
Para tanto, como já referendado, realizou-se uma intervenção pedagógica
com alunos matriculados no curso de Licenciatura em Matemática de uma
Universidade Particular do Estado do RS. A intervenção foi desenvolvida durante duas
noites, com duração de quatro horas/aula por noite. Na ocasião da intervenção, os
alunos receberam guias contendo atividades, acessavam o software Desmos,
analisavam os gráficos já elaborados no software pela autora e realizavam as
atividades propostas. Em seguida, ocorria a discussão sobre as atividades
desenvolvidas, buscando, deste modo, a integração e socialização dos conceitos e
teoremas estudados.
16
Dando continuidade, ao final da Oficina aplicou-se um questionário aos
alunos, cujo foco foi a aprendizagem do conteúdo com auxílio do software Desmos, e
também para que avaliassem aspectos do uso do software relacionadas a possíveis
contribuições de seu uso para a aprendizagem do conceito, segundo a opinião dos
mesmos.
Em relação à metodologia utilizada para realização desse estudo, aportou-se
a de cunho qualitativo, de caráter exploratório. Os instrumentos para coleta de dados
constaram de um questionário impresso, áudios e as atividades impressas realizadas
pelos alunos, além do diário de campo da pesquisadora.
Concretizadas as considerações iniciais, destaca-se que esta dissertação
está vinculada à linha de pesquisa de Tecnologias, metodologias e recursos didáticos
para o ensino de Ciências e de Matemática. Sua composição compreende cinco
capítulos, de modo que o capítulo da introdução, ora apresentado, aborda o problema
de pesquisa - que estimulou a realização deste trabalho - e o contexto em que ele se
insere, assim como os objetivos da pesquisa.
O segundo capítulo apresenta a Abordagem Teórica, com uma revisão de
literatura dividida em quatro seções. Na primeira seção apresenta-se o estudo da
derivada, trazendo-se, na segunda, uma reflexão sobre os principais problemas e
dificuldades enfrentados no processo de ensino e aprendizagem do conceito de
derivada, a fim de elencar as principais causas e os fatores relacionados à dificuldade
de compreensão do conceito. Na terceira seção segue o estudo referente ao uso de
recursos computacionais para o ensino e aprendizagem em Matemática e em Cálculo,
uma vez que esse estudo foi norteador para o desenvolvimento do presente trabalho.
Já na quarta seção segue uma pesquisa teórico–bibliográfica, realizada com intuito
de se conhecer o que está sendo produzido e investigado em relação ao tema
“Derivada”, com base em um levantamento de artigos completos publicados no Portal
de Periódicos da CAPES, no período de 2011 a 2016, elencando-se as principais
teorias, recursos e metodologias utilizadas nessas pesquisas.
O terceiro capítulo - Procedimentos Metodológicos - apresenta as
características da pesquisa, o universo e a amostra pesquisados. No quarto capítulo
- Descrição e Análise da Intervenção Pedagógica -, ocorre o relato dos dois encontros
realizados junto aos alunos do curso de licenciatura em Matemática e efetua-se a
17
apresentação dos resultados que emergiram da pesquisa. No quinto e último capítulo,
tecem-se as Considerações Finais do estudo, destacando-se as conclusões e
implicações da Intervenção Pedagógica desenvolvida.
18
2 ABORDAGEM TEÓRICA
No presente capítulo apresentam-se os pressupostos teóricos que norteiam
esta dissertação, o que é realizado em quatro seções assim definidas: o estudo da
derivada; problemas e dificuldades enfrentados no ensino e aprendizagem de
derivadas; o uso de recursos computacionais no ensino e aprendizagem de
Matemática e em Cálculo Diferencial e Integral; e mapeamento das pesquisas
realizadas sobre derivadas nos últimos 6 anos.
Inicialmente cabe discorrer sobre o conceito de derivada, considerado um dos
conceitos fundamentais do Cálculo, motivo pelo qual seu estudo está presente no
currículo de diversos cursos de graduação, inserido em disciplinas relacionadas ao
Cálculo, devido a sua aplicabilidade em diversas situações do cotidiano relacionadas
ao movimento e à taxa de variação, por exemplo.
A derivada é um conceito que pode ser explorado por meio de diferentes
representações ou focos, como: inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto
dado; derivada como taxa de variação instantânea; e também, abordagem ao estudo
do comportamento de funções através da derivada e problemas de maximização e
minimização.
19
Na sequência, o uso de tecnologias para o ensino e a aprendizagem de
Matemática será abordado levando-se em consideração o contexto da Educação
Matemática e a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, à qual pertence o conteúdo
de derivadas.
Para concluir o referencial teórico, apresenta-se um mapeamento de estudos
realizados sobre as derivadas, efetuado no portal de periódicos da Capes, por meio
da análise de artigos completos publicados nos últimos seis anos, no qual busca-se
levantar as teorias e metodologias utilizadas até o momento.
2.1 O estudo da derivada
A taxa de variação instantânea, a inclinação da reta tangente, a derivada como
limite e a função derivada são as diversas interpretações do conceito de derivada. No
entanto, o que atualmente vem sendo questionado pelos pesquisadores é se os
universitários e também futuros professores têm conseguido compreender e aplicar
esse conceito em suas diversas interpretações (PINO-FAN, GODINO e FONT, 2015).
O que se tem diagnosticado tanto a nível nacional quanto internacional é a falta de
compreensão e conexão entre estas interpretações e suas aplicações.
No que se refere especificamente à derivada, alguns trabalhos mais recentes
desenvolvidos destacam que: há um ensino que prioriza, em geral, processos de
construção e avaliação formal, em que os alunos derivam, integram e calculam limites,
sem serem capazes de dar um sentido mais amplo às noções envolvidas, pois
priorizam somente o aspecto algébrico do conceito (JUNQUEIRA; MANRIQUE, 2015;
VRANCKEN; ENGLER, 2014).
Os alunos também apresentam dificuldade em relacionar os aspectos
analíticos aos gráficos da função e suas derivadas (PINTO; VIANNA, 2012;
SÁNCHEZ– MATAMOROS et al., 2013), demonstrando que o processo de ensino tem
priorizado mais o estudo algébrico do que o estudo gráfico do conceito de derivada.
Frente a esse cenário, a presente subseção foi elaborada com o objetivo de
apresentar o estudo do conceito de derivada em seus aspectos geométrico e gráfico,
20
bem como alguns exemplos de aplicação em diferentes áreas, embasados na
literatura de Anton (2000), Euclides (2009), Flemming (2006), Iezzi (2000), Stewart
(2016), Sviercoski (1999), contribuindo, deste modo, para o aprofundamento teórico
acerca do tema abordado neste trabalho.
Optou-se, primeiramente, por apresentar o conceito geometricamente, no qual
a derivada no ponto 𝑥 = 𝑎 de 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa a inclinação da reta tangente ao
gráfico desta função no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)), definida como o limite da inclinação da reta
secante. A função que a cada ponto 𝑥 associa a derivada neste ponto de 𝑦 = 𝑓(𝑥) é
chamada de função derivada de 𝑓(𝑥).
Em relação à representação gráfica do conceito de derivada, apresenta-se a
análise do comportamento de uma função por meio do gráfico da função derivada, em
que são determinados os intervalos de crescimento e decrescimento da função, bem
como os pontos críticos dela, avaliando sua concavidade.
Para findar a subseção, são selecionados alguns exemplos de aplicação
referentes ao conceito de derivada que demonstram a importância e a relevância do
estudo desse tema em diferentes cursos de graduação, de modo a ampliar o
conhecimento e possibilitar a interação entre conceito e aplicabilidade.
Derivada como inclinação da reta tangente a um ponto
Kendal (2001) realizou uma pesquisa por meio da qual destacou as
representações gráfica, numérica e simbólica do conceito de Derivada, conforme se
pode observar na Figura 1, mostrando que o desenvolvimento da noção desse
conceito está intimamente ligado às habilidades de articulação entre suas
representações.
21
Figura 1 – Mapa representações da Derivada
Fonte: Kendal (2001, p. 47)
Em sua tese, a autora, através do uso de uma CAS1 nas aulas de Cálculo para
o Ensino Médio, descobriu que o uso de múltiplas representações do conceito de
Derivada é muito importante para o entendimento desse conceito, sendo que as partes
gráfica e simbólica são muito úteis e importantes para vincular e enfatizar o conceito.
Diante dessa importância e relevância comprovada das representações do
conceito, passa-se a abordar na sequência deste trabalho alguns dos conceitos que
estão presentes na definição formal de derivada, como a equação de uma reta, cálculo
do coeficiente angular da reta, limite de uma função para se chegar à exploração
gráfica do conceito de Derivada.
Inclinação ou Coeficiente Angular de uma Reta
Um dos problemas do Cálculo Diferencial surgiu da necessidade de encontrar
a inclinação ou coeficiente angular de uma reta y mx b tangente a curva de uma
função em um determinado ponto 0x . Para compreender esse processo, retomam-se
1 Sistemas de Álgebra Computacional
22
alguns conceitos básicos relacionados à reta, partindo da seguinte questão: o que é
inclinação de uma reta?
Dada uma reta 𝑟, por exemplo, pode-se determinar pelo menos uma equação
do tipo 0Ax By C , em que A, B e C são números reais, 0A ou 0B ,
denominada equação geral da reta, a qual é satisfeita por todos os pontos ( , )P x y
pertencentes 𝑎𝑟(IEZZI, 2000).
Se 0B , essa mesma reta pode ser representada da seguinte forma (IEZZI,
2000, p. 52):
0
( ) ( )
y
Ax By C
By Ax C
A C
y x
B B
mx b
A equação y mx b é denominada equação reduzida da reta, na qual a
constante b chama-se coeficiente linear e representa a ordenada do ponto em que a
reta encontra o eixo Oy.
A constante m é chamada “coeficiente angular” ou “inclinação da reta”, obtido
por meio do cálculo da tangente trigonométrica do ângulo que a reta determina
com o sentido positivo do eixo 𝑂𝑋, como pode ser observado no Gráfico 1.
tan( )m com 0º 180º
Gráfico 1 – Ângulo formado entre a reta e o eixo 𝑋.
Fonte: Elaborado pela autora
23
Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo (tan( )) como sendo o
quociente entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a .
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Com tan( )m , tem-se:
1º Caso 2º Caso
Gráfico 2 – Ângulo Agudo Gráfico 3 – Ângulo Obtuso
Se 0 ° < < 90° então m > 0 Se 90° < < 180° então m < 0
(Função crescente) (Função decrescente).
3º Caso 4º Caso
Gráfico 4 – Ângulo Reto Gráfico 5 – Reta paralela ao eixo x
Se = 90º então tan não é definida Se 0º tan 0 0m
m = ∄ (não é função). (Função Constante)
É possível calcular a inclinação de uma reta quando dela se conhece: dois
pontos distintos; a equação geral; e a direção (por exemplo, sabe-se que a reta é
paralela a uma reta dada).
24
Para calcular a inclinação da reta conhecendo-se dois pontos distintos é
necessário estabelecer algumas relações. Logo, sendo f uma função linear de
equação ( )y f x , cujo gráfico é uma reta no plano x .Considere dois pontos 1 1 1( , y )P x
e 2 2 2( , )P x y , sobre a reta e denote por x a diferença entre as coordenadas x desses
pontos ( 2 1x x x ), e por y a diferença entre as coordenadas y desses pontos (
2 1y y y ). Sabendo que a tangente trigonométrica da inclinação da reta é igual
ao coeficiente angular m tem-se:
2 1
2 1
tan( )
y yy f
m
x x x x
.
Observe-se através do Gráfico 6 que, por semelhança de triângulos, qualquer
valor que seja o x , encontra-se por correspondência da função linear f valores para
y , tais que a relação
y
m
x
não se altera.
Gráfico 6 – Coeficiente angular da reta através de dois pontos
Fonte: Elaborado pela autora
A variação
y
x
permite encontrar a inclinação de uma reta, mas também é
utilizada para se encontrar a velocidade escalar média, que é o resultado da razão
entre o espaço total percorrido e o tempo total gasto para realização do percurso por
25
um corpo ou objeto, e pode ser expresso pela relação VEM =
∆S
∆t
, onde ∆𝑆 representa
o espaço total percorrido e ∆𝑡 o tempo gasto no percurso.
Vale recordar que uma grandeza escalar é aquela que seu valor numérico, junto
a unidade de medida, é o suficiente para expressar uma grandeza física. Por exemplo:
quando falamos que um carro viajou durante 4h e percorreu um trajeto de 350 km,
podemos estimar que sua velocidade escalar média foi de 87,5 km/h.
Limite de uma Função
No âmbito da aprendizagem, o conceito de limite também pode ser explorado
em três representações:
1- Gráfica
Em observação ao Gráfico 7, considerando uma função ( )f x , definida num
intervalo I , temos que o limite de ( )f x , quando x tende a a , é o número b , se para
todo 0 , existir, em correspondência, um número 0 , de modo que x a e
( )a x a b f x b . Assim, lim ( )x a f x b (STEWART, 2016).
Gráfico 7 – Limite de uma função
Fonte: Elaborado pela autora
2- Simbólica
26
Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número
a exceto possivelmente no próprio a , então diz-se que o limite de ( )f x quando x
tende a a é L , e escrevemos (STEWART, 2016)
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
se para todo número 0 houver um número 0 tal que se 0 x a então
( )f x L .
3- Numérica
Pode-se analisar o limite pela representação numérica, por exemplo: Para
calcular o lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2, podem-se construir tabelas de valores como as
apresentadas na Tabela 1, realizando as aproximações em torno de 2, pela sua direita
e esquerda.
Tabela 1 – Representação numérica do limite em um ponto
Fonte: Elaborado pela autora
Logo, pela aproximação dos valores em torno de 2 pode-se determinar que o
limite da função quando x tende a 2 é igual a 4.
Reta tangente a uma curva
Retomado o conceito de inclinação de uma reta, prossegue-se com o conceito
de reta tangente a uma curva, que foi um dos problemas que gerou muitos estudos
no desenvolvimento do Cálculo Diferencial.
27
Para iniciar, destaca-se a reta tangente a uma circunferência. Vale retomar o
conceito de tangente, palavra que provém do latim tangente e significa “que toca”.
Euclides (2009, p. 151), no Livro III, define a reta tangente a um círculo como “uma
reta que, tocando o círculo e sendo prolongada, não o corta”.
Ainda no corolário 18, do Livro III, o autor (2009, p. 168) demonstra que “caso
alguma reta seja tangente a um círculo, e, a partir do centro até a junção, seja ligada
alguma reta, a que foi ligada será perpendicular à tangente”, conforme demonstrado
na Figura 2.
Figura 2 – Reta tangente a uma circunferência
Fonte: Elaborado pela autora
Para curvas mais complexas esta definição é inadequada. Na Figura 3, por
exemplo, a reta r foi prolongada a partir do ponto A e interceptou a curva em outros
dois pontos. Pode-se afirmar que a reta r é tangente à curva no ponto A, mas não
nos outros dois pontos B e C (ANTON, 2000).
Figura 3 – Reta tangente à curva no ponto A
Fonte: Elaborado pela autora.
28
Para se obter uma definição de reta tangente que se aplique a demais curvas
que não sejam círculos, é preciso ver a reta tangente de outra maneira (ANTON,
2000).
Tome-se f como uma função cujo gráfico ( )y f x encontra-se representado
abaixo (Gráfico 8). Manifesta-se interesse em encontrar a equação da reta tangente t
à curva no ponto P do plano xy .
Gráfico 8 – Reta tangente a uma curva
Fonte: Elaborado pela autora.
Pode-se encontrar a equação da reta tangente t assim que se sabe a sua
inclinação m . Mas para calcular m é preciso de pelo menos dois pontos distintos.
Para tanto tome-se agora o ponto 0 0( , ( ))P x f x como um ponto fixo e trace-se outra
reta que passa por P e por outro ponto pertencente à curva, obtendo, desse modo,
uma reta s secante à curva da função.
Do intercepto entre a curva e a reta s obtém-se o ponto denominado 1 1( , ( ))Q x f x
sendo este um ponto móvel (variável) próximo de 0 0( , ( ))P x f x , como pode ser
observado no gráfico 9.
29
Gráfico 9 – Reta tangente e reta secante à curva
Fonte: Elaborado pela autora
Para a obtenção da inclinação da reta tangente t no ponto 0 0( , ( ))P x f x em
relação à curva da função, é preciso aproximar o máximo possível o ponto 1 1( , ( ))Q x f x
do ponto 0 0( , ( ))P x f x e calcular a inclinação.
Para se calcular a inclinação da reta secante s temos :
1 0
1 0
( ) ( )
PQ
f x f x
m
x x
.
Sabendo que P (2,0) e que o ponto Q inicial é (4,2), tem-se
2 0
1
4 2
PQm
. Realizando
a aproximação de Q em P, obtém-se um novo ponto Q (3.5,0.75) como pode ser
observado no gráfico 10, e calcula-se a nova inclinação,
0.75 0
0.5
3.5 2
PQm
.
Gráfico 10 – Aproximação de Q a P
Fonte: Elaborado pela autora
Quanto mais próximo de P está chegando Q, mais aproximado o valor da
inclinação a ser obtida para a reta tangente t à curva da função. Sendo assim,
30
aproxima-se o máximo possível os dois pontos, obtendo Q (2.01, -0.01), logo tem-se
que
2.01 0
0.99
0.01 2
PQm
. É possível afirmar que o valor aproximado da inclinação
da reta tangente t é igual a -1.
Para confirmar o valor encontrado faz-se o mesmo procedimento de
aproximação de Q em P, mas agora pela esquerda de P, admitindo Q inicial como
sendo (1, 2), conforme pode ser visto no gráfico 11.
Gráfico 11 – Aproximação de Q em P pela esquerda.
Fonte: elaborado pela autora
Logo obtém-se a inclinação
2 0
2
1 2
PQm
. Continuando a sequência de
aproximações obtém-se o ponto mais próximo de P, sendo Q (1.99, 0.01), logo a
inclinação de
1.99 0
1.01
0.01 2
PQm
.
Então faz-se Q aproximar-se de P ao longo da curva da função ao obrigar 1x
tender a 0x . Se PQm tender a um número m , então define-se a tangente t como a
reta que passa por P e tem inclinação m . (Isto implica dizer que a reta tangente é a
posição-limite da reta secante PQ quando Q tende a P . (STEWART, 2016, p. 122).
Obtém-se, assim, a inclinação m da reta tangente t como sendo
aproximadamente -1 para o ponto de tangência (2,0)P em relação à curva da função
( )y f x .
31
Deste modo, define-se a reta tangente à curva ( )y f x em um ponto
𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) como sendo a reta que passando por P tem inclinação
𝑚 = lim
𝑥1→𝑥0
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
Desde que o limite exista (ANTON, 2000, p. 178).
Mas, há outra expressão para a inclinação da reta tangente que é, às vezes,
mais fácil de ser usada para cálculos. Se 1 0h x x , então 1 0x x h e, assim, a
inclinação da reta secante PQ é
0 0( ) ( )
PQ
f x h f x
m
h
Definição (1)
Logo, a inclinação m da reta tangente à curva ( )y f x em um ponto
0 0( , ( )P x f x é a reta passando por P com inclinação
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
m
h
Definição (2)
O valor de m é chamado de “ derivada da função ( )y f x no ponto 0x ” e é
denotado pelo símbolo 0( )f x , é claro que m é o coeficiente angular ou inclinação da
reta tangente t , portanto tem-se:
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
h
f x h f x
f x
h
Definição de Derivada (3)
2.1.1 Análise gráfica da função através da função derivada
Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o
comportamento da função em determinado intervalo, à medida que se percorre o seu
gráfico da esquerda para a direita. Observando o gráfico da função que está na Figura
4, pode-se descrever o seu comportamento como crescente no intervalo ] ,0[ ,
decrescente no intervalo ]0,2[ , novamente crescente no intervalo ]2,3[ e constante
no intervalo ]3, [ .
32
Figura 4 – Comportamento de uma função
Fonte: Elaborado pela autora
Porém, o comportamento de uma função também pode ser conhecido por meio
da função derivada e seu gráfico, pois a derivada de uma função em um ponto pode
ser interpretada como a inclinação (valor do coeficiente angular) da reta tangente ao
seu gráfico nesse ponto, então é razoável esperar que informações sobre '( )f x
forneçam informações sobre ( )f x .
Essa interpretação geométrica da derivada pode ser usada como recurso
auxiliar no esboço de gráficos.
Por exemplo:
• pode-se usar a derivada para determinar os pontos onde a reta tangente é
horizontal: nesses pontos o valor da derivada é zero e estes são considerados pontos
críticos da função, possíveis ponto de máximo ou de mínimo;
• pode-se usar a derivada para encontrar os intervalos nos quais a inclinação
da reta tangente é positiva ou negativa, e consequentemente a função é crescente e
decrescente.
Para ver como a derivada de f pode dizer onde a função é crescente ou
decrescente, observe-se a Figura 5. Entre A e B e entre C e D, as retas tangentes têm
inclinação positiva e, portanto, '( ) 0f x . Entre B e C, as retas têm inclinação negativa
e, portanto, '( ) 0f x . Assim, parece que f cresce quando '( )f x é positiva e decresce
quando '( )f x é negativa.
33
Figura 5 – Retas tangentes a curva de f
Fonte: Elaborado pela autora
Os extremos relativos de uma função, se houverem, ocorrem em pontos
críticos, ou seja, aqueles nos quais '( ) 0f x , ou seja, onde a inclinação da reta
tangente é nula, ou ainda quando f é não-diferenciável (STEWART, 2016). No caso
da Figura 5, estes pontos seriam B e C, pois neles a inclinação da reta tangente é
nula. Mas é importante destacar que nem todo ponto crítico dá origem a um extremo
relativo, pois há aqueles em que isto não ocorre.
Como às vezes é preciso distinguir os pontos críticos, nos quais '( ) 0f x ,
daqueles onde f é não-diferenciável, chamam-se os pontos onde '( ) 0f x de pontos
estacionários de f .
Para determinar se um ponto crítico de f é um extremo relativo, é preciso
analisar a derivada primeira de f , em cada lado dos pontos críticos (STEWART,
2016):
a) Se o sinal da derivada for positivo à esquerda do ponto crítico e negativo à direita
dele, o ponto é um máximo relativo.
b) Se o sinal da derivada for negativo à esquerda do ponto crítico e positivo à direita
dele, o ponto é um mínimo relativo.
c) Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, o ponto
não é máximo nem mínimo relativo.
34
Ao analisarem-se os pontos B e C da Figura 5, pode-se afirmar que B é um
ponto de máximo, pois a sua esquerda 'f é positiva e a direita 'f é negativo. Já C é
um ponto de mínimo, pois a sua esquerda 'f é negativo e a direita 'f é positivo. Ou
seja, por meio do comportamento da derivada ao redor dos pontos críticos pode-se
determinar o comportamento de f .
2.1.1.1 Análise gráfica da função através do gráfico da função derivada
Outro modo de se conhecer e determinar o comportamento de uma função é a
por meio da análise do gráfico da derivada de primeira ordem. Para isso, é preciso
iniciar realizando algumas comparações entre o gráfico da função e o gráfico de sua
derivada primeira, de modo a estabelecer relações possíveis entre eles.
Em um gráfico da derivada primeira, obtém-se um eixo m , pois quando
visualizam-se vários pontos no gráfico da derivada, a coordenada y de um ponto será
denotada como a inclinação da função original, logo, as coordenadas do gráfico da
derivada primeira têm como coordenadas ( , )x m .
Observe-se a Figura 6 com o gráfico da função f em vermelho e o gráfico de
sua derivada primeira 'f em azul. Analisando o gráfico f da esquerda para a direita,
pode-se determinar o comportamento de f como sendo decrescente nos intervalos
] , 1[ e ]0,1[ e crescente nos intervalos ] 1,0[ e ]1, [ , tendo como extremos
relativos ( 1, 1) e (1, 1) , pontos de mínimo, e (0,0) ponto de máximo.
35
Figura 6 – Gráfico da função e sua derivada primeira
Fonte: Elaborado pela autora
Em relação ao gráfico de 'f podem-se determinar os intervalos onde a derivada
primeira é positiva, ou seja, '( ) 0f x como sendo aqueles onde o gráfico de 'f está
acima do eixo x . E os intervalos onde a derivada primeira é negativa, ou seja,
'( ) 0f x como sendo aqueles onde o gráfico de 'f está abaixo do eixo x .
Comparando os intervalos onde f é crescente e decrescente com intervalos onde o
gráfico de 'f é positivo ou negativo, percebe-se que f é crescente onde 'f é
positivo, e f é decrescente onde 'f é negativo. Logo, através do gráfico de 'f é
possível identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
Agora observem-se as coordenadas dos pontos de intercepto do gráfico de 'f
com o eixo x ,onde se tem ( 1,0) , (0,0) e (1,0) . Estes pontos estão relacionados aos
extremos relativos da função, o valor da coordenada x representa os possíveis pontos
críticos da função, sendo que a coordenada y está relacionada ao valor da inclinação
da reta tangente neste ponto, ou seja, derivada igual a zero. Comparando os extremos
relativos de f com os pontos de intercepto de 'f como eixo x podem-se estabelecer
algumas relações a fim de identificar se os extremos relativos são pontos de máximo,
mínimo ou nenhum dos dois.
Primeiramente, analisa-se o comportamento de 'f ao redor do ponto (-1, 0), a
fim de identificar se 'f é positivo ou negativo. Deste modo pode-se afirmar que
'( ) 0f x antes de (-1,0) e '( ) 0f x depois. Sabendo que, se '( ) 0f x a função é
decrescente, e que, se '( ) 0f x a função é crescente, é possível afirmar que o ponto
36
com coordenada 1x é um ponto de mínimo da função, devido ao comportamento
de f passar de decrescente para crescente.
O segundo ponto a ser analisado é (0,0), para isto analisa-se novamente o
comportamento de 'f ao seu redor, onde se tem que antes de (0,0) '( ) 0f x e depois
'( ) 0f x . Sendo assim, f era crescente e passou a ser decrescente ao redor de (0,0)
dando origem a um ponto de máximo em 0x . Já para o ponto (1,0), tem-se '( ) 0f x
antes de (1,0) e '( ) 0f x depois. Desse modo, pode-se afirmar que a função passou
de decrescente para crescente resultando em um ponto de mínimo em 1x .
Por meio da análise do gráfico da derivada primeira de f foi possível
compreender o comportamento de f , bem como identificar os possíveis pontos
críticos, o que pode auxiliar no esboço e compreensão do gráfico da função. No
Cálculo, muitas das aplicações requerem a compreensão gráfica, a fim de poder
solucionar problemas e realizar comparações. Desse modo, fica evidente a
importância e a relevância do estudo gráfico da derivada, de modo a contribuir para a
aprendizagem do conceito de maneira mais significativa e concisa.
2.1.1.1.1 Aplicações da derivada
Comumente, nas salas de aula, os alunos questionam sobre onde serão
aplicados os conteúdos abordados e isso ocorre tanto no ensino básico, quanto no
superior. Assim, mostrar a aplicabilidade faz com que os conteúdos se tornem mais
significativos e interessantes, de modo a estimular os alunos e a desenvolver a
contextualização daquilo que se ensina e se aprende.
Com o ensino de derivada não pode ser diferente, há necessidade de se
trabalhar com problemas de aplicação relacionados a diferentes áreas do
conhecimento. Por isso, nesta parte da pesquisa serão apresentados alguns
problemas de aplicação do conceito de derivada em diferentes contextos. Nesse
sentido, talvez a mais difundida aplicação das derivadas no ensino superior seja a de
otimização de problemas, em que as derivadas são utilizadas para se obter a
37
maximização ou a minimização de um determinado fenômeno, possibilitando resolver
situações problemas de nosso cotidiano, como também, a taxa de variação
instantânea.
Optou-se por selecionar, para apresentar na sequência, alguns problemas
contemplando diferentes áreas de conhecimento, abordados em diferentes livros
didáticos de Cálculo, entre eles: Anton (2000), Flemming (2006), Stewart (2016),
Sviercoski (1999).
Problema 1- Economia (adaptado de ANTON, 2000)
De acordo com uma aplicação apresentada por Anton (2000), uma forma líquida de
Penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de
$200 por unidade. Se o custo de produção (em dólares) para x unidades for
( ) 500.000 80 0,003 ²C x x x e se a capacidade de produção da firma for de no
máximo 30.000 unidades em um tempo específico, quantas unidades de penicilina
devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro?
Informações:
Quando se trata de economia, existem três funções importantes a se considerar
que são:
( )C x = custo total da produção de x unidades de um produto, durante certo
período de tempo.
( )R x = rendimento total da venda de x unidades de um produto, durante certo
período de tempo.
( )P x = lucro total obtido na venda de x unidades de um produto, durante certo
período de tempo.
Elas são chamadas, respectivamente, função-custo, função-rendimento,
função-lucro. Se todas as unidades produzidas forem vendidas, elas estarão
relacionadas por
( ) ( ) ( )
[ ] [ dim ] [ ]
P x R x C x
lucro ren ento custo
38
Solução: Como o rendimento total na venda de x unidades é ( ) 200R x x , o
lucro ( )P x sobre x unidades será
( ) ( ) ( ) 200 (500.000 80 0,003 ²)P x R x C x x x x
Como a capacidade de produção é de no máximo 30.000 unidades, x deve
estar no intervalo [ 0, 30.000]. Logo, é preciso derivar a função lucro em relação a x
para determinar os valores para x nos quais podem ocorrer o lucro máximo
200 (80 0,006 ) 120 0,006
dP
x x
dx
Equacionando 0
dP
dx
obtém-se
120 0,006 0x ou 20.000x
Como este ponto crítico está no intervalo [0, 30.000], o lucro máximo deve
ocorrer em um dos pontos 0x , 20.000x ou 30.000x .
Substituindo-se estes valores em ( )P x , obtém-se a Tabela 2, a qual nos mostra
que o lucro máximo 700.000P ocorre quando 20.000x unidades forem fabricadas
e vendidas no tempo especificado.
Tabela 2 – Resultados encontrados para o problema
x 0 20.000 30.000
( )P x 500.000 700.000 400.000
Fonte: Anton (2000, p. 347)
Problema 2 – Ciências Agrárias (SVIERCOSKI, 2014, p. 144- 145)
Considerando a produção de matéria seca de feijão ( )( / )f x g vaso em função da dose
de fósforo ( )x ppm , em que 0 230x , dada, em [2], por
( ) 6.575 0.0788 0.000174 ²f x x x
Encontre a dose de fósforo que dá a produção máxima.
39
Solução: Primeiro precisa-se encontrar o ponto crítico da função, isto significa,
derivar a função e encontrar o ponto em que a inclinação da reta tangente é nula, ou
seja, '( ) 0f x , o possível ponto de produção máxima ou mínima.
'( ) 0.0788 0.000348 0 226.44f x x x
Agora derivamos novamente a função, para determinar a derivada de segunda
ordem, por meio da qual verificamos se o valor encontrado representa um máximo ou
um mínimo local. Como ''( ) 0.000348f x , então ''(226.44) 0.000348f , ou seja,
226.44x ppm é um ponto de máximo local, isto é, a produção máxima será de
(226.44) 15.497( / )f g vaso como pode ser observado na Figura 7.
Figura 7 – Produção de matéria seca de feijão
Fonte: Sviercoski, 2014, p.145
Problema 3 – Ciências Médicas e Biológicas (FLEMMING, 2006, p. 180-181)
Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em
dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por
³
( ) 64
3
t
f t t
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4t ?
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 8t ?
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
40
Solução: A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação
da função ( )f t em relação a t . Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada
por:
'( ) 64 ²f t t
(a) No tempo 4t , temos:
'(4) 64 16 48f .
Logo, no tempo 4t , a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por
dia.
(b) No tempo 8t , temos:
'(8) 64 64 0f
Portanto, no tempo 8t a epidemia está totalmente controlada.
(c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia
corresponde à variação de t de 4 para 5. Logo, o número de pessoas atingidas
pela moléstia durante o 5º dia será dado por:
5³ 4³
(5) (4) (64 5 ) (64 4 )
3 3
125 64
320 256
3 3
43
f f
No item (a), viu-se que no tempo 4t (início do 5º dia), a epidemia se alastrava
a uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculou-se que durante o 5º dia 43
pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da
moléstia se modificou no decorrer do dia.
Problema 4 – Geometria (FLEMMING, 2006, p. 220-221)
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 m². A prefeitura
exige que exista espaço livre de 25 m na frente e 12 m em cada lado. Encontre as
dimensões do lote que tenha área mínima na qual possa ser construído este galpão.
Solução: A Figura 8 ajuda a definir a função que vamos minimizar.
41
Figura 8 – Esboço do galpão
Fonte: Flemming, 2009, p. 220
Sabemos que 12.100 ²A m x y
A função que definirá à área do lote é
( 12 12)( 25 20)
( 24)( 45)
S x y
x y
Isolando y em 12.100 x y , obtém-se, que
12.100
y
x
. Substituindo na
função anterior, vem
12.100
( ) ( 24)( 45)S x x
x
Esta é a função que se quer minimizar.
Temos:
45 ² 290.400
'( )
²
x
S x
x
Resolvendo a equação
45 ² 290.400
0
²
x
x
, obtém-se que
44 30
3
x é um ponto
crítico. ( x é uma medida e, portanto, considere-se só o valor positivo.)
Tem-se que
580.800
''( )
³
S x
x
e, portanto,
44 30
''( )
3
S . Logo,
44 30
3
x é um
ponto de mínimo. Fazendo
44 30
80,33m
3
x , obtém-se que
12.100 12.100
150,62
44 30 / 3
y m
x
e então, a área mínima é obtida quando as
dimensões do lote forem aproximadamente (80,33 24) (150,62 45)m m .
42
Problema 5 – Física (STEWART, 2016, p. 247)
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo
ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa
missão, do lançamento em 0t até a ejeção do foguete auxiliar em 126t s , é dado
por
( ) 0,0003968 ³ 0,02752 ² 7,196 0,9397v t t t t
(Em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo é mínimo
absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.
Solução: São pedidos os valores extremos não da função velocidade dada, mas
da função de aceleração. Assim, precisa-se primeiro derivar para encontrar a
aceleração:
( ) '( ) (0,0003968 ³ 0,02752 ² 0,9397)
0,0011904 ² 0,05504 7,196
d
a t v t t t
dt
t t
Aplicando-se, agora, o método do Intervalo Fechado à função continua a no
intervalo 0 126t . Sua derivada é
'( ) 0,0023808 0,05504a t t
O único número crítico ocorre quando '( ) 0a t :
1
0,05504
23,12
0,0023808
t
Calculando ( )a t no número crítico e nas extremidades, tem-se:
(0) 7,196a 1( ) 6,56a t (126) 19,16a
Assim, a aceleração máxima é cerca de 19,16 m/s², e a aceleração mínima é
cerca de 6,56 m/s².
2.2 Dificuldades e problemas enfrentados no ensino de derivadas
O conceito de derivada é considerado um dos conceitos fundamentais do
Cálculo, devido a sua importância para compreensão de outros conceitos, como a
43
integral e as equações diferenciais, além de possuir diversas aplicações em diferentes
áreas do conhecimento. “Com efeito, a derivada, na sua relação com as diversas
áreas do conhecimento, é, sobretudo, taxa de variação instantânea (REZENDE, 2003,
p. 350).
De acordo com a literatura, derivada é um conceito que possui diversas
interpretações, entre elas: derivada como processo de limite, inclinação da reta
tangente a uma curva em um determinado ponto, taxa de variação instantânea,
derivada como função, além das aplicações e da relação com o comportamento de
funções.
Apesar de suas aplicações e interpretações, o conceito de derivada tem sido
um dos tópicos em que os alunos apresentam maior dificuldade de compressão,
resultantes de diversas causas. Destarte, investigá-las é um dos objetivos
fundamentais dos pesquisadores em Educação Matemática, de modo a dar ciência
de suas causas e apontar caminhos para sanar as dificuldades (CATAPANI, 2001;
BARBOSA, 2004).
Para tanto selecionamos algumas pesquisas que têm apontado tais
dificuldades e suas causas, levando em consideração aquelas que tratassem
especificamente da derivada, principalmente as relacionadas a compreensão do
conceito e suas relações gráficas e geométricas. Neste caso, optamos em elencar as
pesquisas mais citadas no contexto em estudo.
Como parte integrante da maioria dos cursos introdutórios de Cálculo, o
conceito de derivada de uma função é usualmente abordado após a retomada do
conteúdo de funções e a introdução do conceito de limites.
Normalmente, a introdução do conceito de derivada é realizada utilizando-se a
ideia de reta tangente à curva de uma função e, na sequência, o cálculo de derivadas
pela definição de limite e as regras de derivação, sendo os dois últimos pontos os que
mais ocupam a atenção dos professores e dos alunos. Para concluir, estudam–se as
aplicações das derivadas, o que envolve problemas de otimização, estudo do
comportamento das funções e esboço de gráficos, conteúdos muitas vezes pouco
explorados (GODOY, 2004; LEHMANN, 2011).
44
Entretanto, Rezende (2003, p. 350) observa que:
Calcular exaustivamente derivadas de funções através das regras usuais de
derivação não leva o aluno a construir efetivamente o significado desta
operação. Interpretá-la tão somente como “coeficiente angular da reta
tangente” significa ignorar o problema histórico essencial da “medida”
instantânea da variabilidade de uma grandeza – esse foi, inclusive, o grande
problema perseguido pelos filósofos escolásticos.
De acordo com o autor, há necessidade de explorar o conceito de derivada de
modo a demonstrar que suas interpretações se complementam, e assim contribuir
para a significação do conceito, bem como, demonstrar os diversos contextos a que
se relaciona e se aplica, fazendo com que os alunos fortaleçam as redes de
significação por meio da contextualização.
Além da necessidade de explorar o conceito em suas diversas interpretações,
a pesquisa de Godoy (2004), que teve por objetivo investigar o conhecimento de
alunos que já haviam passado por um curso de Cálculo, à luz da Teoria dos Registros
de Representação de Raymond Duval, demonstrou que os alunos apresentam maior
dificuldade nos registros gráficos do conceito de derivada, além de dificuldade de
reconhecer no registro de representação simbólico '( )f x o significado da derivada
como coeficiente angular.
Orton (1983), ao estudar a compreensão dos alunos sobre diferenciação,
evidenciou dificuldades na conceptualização geométrica de limite, ou seja, para
interpretar a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto dado,
como um limite das inclinações das retas secantes que passam por esse ponto de
tangência. Em seu estudo, o autor evidenciou também dificuldades em utilizar
apropriadamente as representações gráficas do conceito, ou seja, incapacidade de
avaliar a taxa de variação instantânea de variação a partir do gráfico correspondente.
Tais dificuldades foram manifestadas igualmente por um grupo de professores
estagiários que participaram da pesquisa conduzida por Almeida e Viseu (2002, p.
216-217), indicando que parecem estar associadas a:
— uma capacidade visual demasiado pobre, a qual dificulta a identificação do
tipo de uma função dado o seu gráfico;
— a incapacidade de interligar múltiplas condições numa mesma questão;
— a falta de capacidade de ligar a informação gráfica aos conhecimentos
analíticos.
45
Rezende (2003, p.18) aponta também como causa para essas dificuldades a
ênfase exagerada dada às técnicas, na maioria dos cursos de Cálculo, em que se
exigem muito mais habilidades algébricas do aluno do que a compreensão do próprio
significado explorado, ele destaca que
O campo semântico das noções básicas do Cálculo tem muito mais a ver com
as noções de “infinito”, de “infinitésimos” de “variáveis”, do que com “fatoração
de polinômios”, “relações trigonométricas”, “cálculos algébricos”. É bem
verdade, que o conhecimento destes últimos auxilia na árdua tarefa de
calcular limites (derivadas, integrais etc.), mas é exatamente aí que se coloca
nossa primeira questão fundamental: Qual é o curso de Cálculo que se quer?
Aquele em que prevalece a técnica? Ou aquele em que se busca a
construção de significados? Quando se fala de “falta de base”, de que “base”
se está falando?
É evidente que o procedimento algébrico do Cálculo é fundamental, mas o que
se tem questionado em relação à aprendizagem desses conceitos está na sua
aplicação e compreensão conceitual, como no caso da derivada. Alunos derivam
funções sem ter conhecimento de sua aplicabilidade e de seus aspectos conceituais,
o que acaba propondo um repensar do papel do Cálculo no ensino superior.
Os problemas de base conceitual têm chamado a atenção de pesquisadores
quando relacionados ao conceito de derivada, como no caso de D’Avoglio (2002). Em
sua pesquisa com alunos que já haviam estudado assunto, cujo objetivo consistia em
verificar, por meio de um teste de sondagem, qual o nível de conhecimento desses
alunos sobre o aspecto conceitual da derivada, identificou que alguns alunos
confundem:
a) derivada com reta tangente,
b) derivada num ponto com a função derivada,
c) derivada com regra para se achar derivada,
d) reta tangente com coeficiente angular da reta tangente e também, que
muitos apresentam dificuldade de expressão (D’AVOGLIO, 2002, p. 27).
A partir de sua pesquisa, como resultados, o autor apresentou evidências de
que a introdução do conceito de derivada de uma função em um ponto, a partir do
conceito de velocidade, contribui bastante para sua aprendizagem. Isso devido ao fato
de que se leva em consideração um assunto familiar aos alunos, associado a seus
conhecimentos prévios, despertando, assim, o interesse e participação do estudante.
46
Outra causa de dificuldades para a compreensão conceitual da derivada está
relacionada ao próprio referencial teórico utilizado em sua abordagem, decorrente do
desenvolvimento do pensamento científico. De acordo com Leme (2003, p. 32), “a
História revela que a gênese da evolução da noção de derivada constituiu-se na busca
por processos para resolução de problemas, caracterizando-se um modo
predominantemente operacional”, porém, nos livros didáticos, o conceito de derivada
tem sua característica estrutural abordada, apresentando-se, dessa forma, na
contramão da evolução histórica, tornando mais difícil a sua compreensão.
Em livros didáticos ocorre, também, uma priorização da representação
simbólica do conceito, o que acaba não propiciando uma adequada unificação
semântica da derivada com seus aspectos gráfico e numérico (LEME, 2003). De
acordo com Kendal (2001), as representações gráfica, numérica e simbólica do
conceito de derivada são consideradas importantes para o desenvolvimento da noção
de derivada e estão relacionadas às habilidades de articulações entre estas.
As discussões elencadas apontam no sentido da importância de práticas de
ensino/aprendizagem do conceito de derivada que integrem simultaneamente
abordagens gráficas e analíticas, de forma a evidenciar significados e relações,
oportunizando, dessa forma, a aprendizagem desse conceito tão importante, tanto
para o Cálculo, quanto para as demais aplicações.
2.3 O uso das Tecnologias Computacionais para o ensino e aprendizagem de
Matemática
Nas últimas décadas, o uso de Tecnologias de Informação e Comunicação
(TICs) tem crescido de maneira acelerada em toda sociedade, invadindo os espaços
no campo familiar, profissional e social, o que acaba desencadeando mudanças
nesses ambientes e, de modo especial, também no ambiente educacional. A presença
de recursos tecnológicos cada vez mais modernos tem permitido novas formas de
realizar ações, reinventando o modo com que o homem se relaciona com o mundo e
com seu semelhante, e também potencializando novas formas de perceber e
organizar situações de aprendizagem.
47
Diante do cenário atual, no qual os conhecimentos sobre informática e
diferentes tecnologias se tornaram indispensáveis, o uso dessas ferramentas em
salas de aula pode ser considerado inquestionável, pois conforme já colocava
Rezende (2002, p. 01),
na virada do século, não se trata mais de nos perguntarmos se devemos ou
não introduzir as novas tecnologias da informação e da comunicação no
processo educativo. Já na década de 80, educadores preocupados com a
questão consideraram inevitável que a informática invadisse a educação e a
escola, assim como ela havia atingido toda a sociedade. Atualmente,
professores de várias áreas reagem de maneira mais radical, reconhecendo
que, se a educação e a escola não abrirem espaço para essas novas
linguagens, elas poderão ter seus espaços definitivamente comprometidos.
Desse modo, o uso didático das TICs (em especial do computador e das
calculadoras gráficas) no ensino vem sendo discutido por diversos educadores e
pesquisadores, tornando-se uma forte tendência dentro da Educação Matemática há
algumas décadas.
O uso do computador para o ensino de Matemática também se destaca em
três perspectivas diferentes, de acordo com Canavarro (1993, apud PONTE e
RIBEIRO, 2000, p. 3),
como elemento de animação, com a capacidade para melhorar o ambiente
geral da aula; como elemento facilitador, permitindo realizar determinadas
tarefas tradicionalmente realizadas à mão; como elemento de possibilidade,
permitindo equacionar a realização de atividades que seriam difíceis de
efectuar de outro modo.
Tais elementos podem contribuir para o ensino de conceitos considerados
abstratos aos olhos dos alunos, pois as tecnologias permitem explorar diferentes
contextos, como por exemplo, relacionar aspectos gráficos e algébricos de uma
função por meio do uso de um software ou calculadora gráfica. Em relação à
motivação e possibilidade, as tecnologias e a matemática, se utilizadas de modo
inteligente, oportunizam a busca pelo conhecimento e despertam o interesse do aluno,
uma vez que ele seja levado a pensar e construir os conceitos, passando a ser ativo
no processo de aprendizagem e contribuindo para sua formação.
Além das perspectivas apresentadas, calculadoras gráficas e computadores
podem ser utilizados no contexto da Educação Matemática, onde se pode destacar
uma função de sua utilização
48
no que diz respeito aos valores e atitudes, a calculadora e o computador são
particularmente importantes no desenvolvimento da curiosidade e do gosto
por aprender, pois proporcionam a criação de contextos de aprendizagem
ricos e estimulantes, onde os alunos sentem incentivada a sua curiosidade
Ponte & Canavarro (1997, p. 101).
Essa possibilidade de criação de espaços diferenciados para a aprendizagem
com uso de tecnologias, conduz à reflexão sobre as ideias de Gravina e Santarosa
(1998, p. 1), que trazem uma reflexão acerca do que significa “fazer matemática:
experimentar, interpretar, visualizar múltiplas facetas, induzir, conjeturar, abstrair,
generalizar e, enfim, demonstrar”.
Esse fazer matemática apontado pelas autoras pode ser explorado por meio do
uso das tecnologias, mais especificamente, pelo uso de softwares e calculadoras
gráficas, que, quando utilizados adequadamente, possibilitam a experimentação em
conteúdos matemáticos, além de estimular a percepção visual dos alunos (BORBA e
PENTEADO, 2001), auxiliando na construção de conceitos.
Outros autores, como Allevato (2005; 2008), Borba e Villareal (2005), Braga e
Paula (2010), salientam que as possibilidades experimentais das tecnologias podem
ser exploradas de tal modo a levar o aluno à elaboração e validação de conjecturas,
contribuindo para o desenvolvimento de suas ideias e criação de novas conjecturas.
O trabalho adequado com as tecnologias faz com que os alunos se tornem
investigativos e participativos e não apenas receptivos.
2.3.1 O uso de Tecnologias Computacionais para o ensino e aprendizagem de
Cálculo
O Cálculo Diferencial e Integral, é uma disciplina presente no currículo de
muitos cursos superiores, por ser um ramo importante da matemática e seu campo de
aplicações se entender em todos as áreas de conhecimento. Apesar de tantas
aplicabilidades, as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem vem sendo
foco de muitas pesquisas, como a de Junior, Bessa, Cezana (2015) por ser alvo de
um grande número de reprovações, evasão e repetência. Algumas tendências na
49
Educação Matemática têm sido propostas na tentativa de minimizar os efeitos desta
problemática, como a utilização de Recursos Tecnológicos, a Modelagem Matemática
e a Resolução de Problemas, e demonstraram resultados positivos em relação a
aprendizagem.
Um dos caminhos que pode ensejar maior produtividade no processo de
ensino e aprendizagem no Cálculo Diferencial e Integral I pode estar na
diversificação das formas de abordagem de cada tema a ser apresentado, a
partir do que se adapta a cada um destes, da condição intrapessoal e
interpessoal de cada docente, do nível de aprofundamento desejado, etc.
Assim, algumas opções viáveis podem ser encontradas, além da resolução
de problemas que constituem a própria essência da Matemática, por meio da
explicitação dos seus conceitos e de suas teorias através da história; e estas
podem tornar-se um meio bastante estimulador, tanto para o professor como
para o aluno, criando-se uma atmosfera que facilite a compreensão do saber
matemático pelo contato com sua gênese e etapas de seu desenvolvimento;
além disso, fazer uso da experimentação, das aplicações e do uso da
computação (SILVA, 1994, p. 6).
Entre as estratégias apontadas por Silva (1994) para melhorar a qualidade de
ensino e aprendizagem de Cálculo, o uso de programas computacionais vem sendo
implementado desde a década de 1980, como uma das alternativas para superar a
falta de sucesso acadêmico nas aulas de matemática, proposta apresentada pelo
movimento “Calculus Reform”, que foi um movimento por meio do qual ocorreu a
reforma de currículos e implantação de novas metodologias baseadas no
construtivismo, como o trabalho com problemas e uso de calculadoras gráficas.
Desde então, pesquisas relacionadas ao uso de tecnologias para o ensino e
aprendizagem de Cálculo vem sendo realizadas, com intenção de impulsionar
mudanças no quadro educacional do ensino superior, relacionadas ao Cálculo.
Objetiva-se, também, expandir metodologias e estratégias que têm demonstrado bons
resultados frente à compreensão dos conceitos e melhora no aproveitamento dos
alunos.
Entre as pesquisas realizadas no contexto apresentado, selecionou-se aquelas
que apresentam relevância para estudo realizado, sendo citadas em diversos outros
trabalhos que refletem o uso de TIC’s no ensino superior. Entre estas, elencamos as
que refletem sobre as potencialidades presentes nas tecnologias utilizadas para
promover o ensino e a aprendizagem de Cálculo; as que apontam vantagens e
contribuições de seu uso; bem como o papel do professor frente às tecnologias. Sobre
50
as contribuições e vantagens do uso de tecnologias no ensino e aprendizagem de
Cálculo, algumas pesquisas podem ser apontadas, como Paranhos (2009), Alves e
Reis (2010), Alves, Correia e Melo (2013), Marin (2009), entre outras.
Paranhos (2009) destaca que o uso de ambientes informatizados para o ensino
e a aprendizagem de Cálculo pode promover mudanças na qualidade do aprendizado
dos alunos, pois estes se tornam mais participativos e exploradores, acompanham o
curso mais de perto e fazem mais perguntas. Isso, além de ajudar na criação de
conjecturas e negociação de significados, facilitando a compreensão dos aspectos
conceituais também do Cálculo.
De acordo com Alves e Reis (2010) e Alves, Correia e Melo (2013), entre as
contribuições frente ao uso de recursos tecnológicos nas aulas de Cálculo estão: a
possibilidade de visualização de propriedades, que tradicionalmente são manipuladas
algebricamente; a abertura para conjecturas a partir de gráficos; e o ambiente
dinâmico proporcionado pelo software, que contrasta os modelos geralmente
estatísticos apresentados nos livros didáticos.
Em relação às vantagens do uso de tecnologias nas aulas de Cálculo, o grupo
de professores participantes da pesquisa de Marin (2009) apontou que: os alunos
aprendem melhor, pois, por meio do aspecto visual, encontram facilidade em
compreender aquele conteúdo que anteriormente parecia algo tão longe da sua
capacidade. Os professores envolvidos na pesquisa destacam que se proporciona a
experimentação, através da qual pode-se buscar novas descobertas, observar
propriedades, investigar, transformar, modificar e testar aquilo que antes somente era
repassado ao aluno de maneira automática.
Diante da leitura e análise das pesquisas apresentadas até o momento,
evidenciou-se a recorrência de alguns aspectos importantes presentes entre as
vantagens e contribuições do uso de tecnologias computacionais para o ensino de
Cálculo, como é o caso da experimentação, da investigação e da visualização.
Em relação à importância dos aspectos de experimentação e investigação,
Alves, Correia e Mello (2013) destacam que o uso das tecnologias assegura ao aluno
a oportunidade de testar, validar ou refutar conjecturas, tornando-o interativo e não
apenas receptivo.
51
Outro aspecto evidenciado entre as pesquisas trata da visualização como parte
dos processos de ensino e aprendizagem, Reis e Júnior (2016) salietaram a
importância da imagem visual para a compreensão dos conceitos envolvidos na
disciplina de Cálculo, e de sua interação com aspecto analítico.
Ferramentas tecnológicas, se utilizadas de forma adequada, podem
potencializar o uso dos recursos gráficos no ensino de Cálculo, estimulando
a observação, a busca de regularidades e padrões e possibilitando, através
da comparação com as outras formas de se representar uma função, o
entendimento das ligações entre elas. O trabalho desenvolvido com a
utilização desses recursos também pode contribuir para que os alunos
apurem a percepção e, por consequência, desenvolvam habilidades que
facilitem a construção gráfica por meio dos instrumentos tradicionais: lápis,
papel e régua (COUY, 2008, p. 47).
A visualização gráfica gerada por softwares tem se mostrado uma ferramenta
eficiente para o ensino de Cálculo e a exploração de conceitos muitas vezes abstratos
para os alunos, pois, segundo Costa e Souza Júnior (2007), possibilitam ao aluno
construir conceitos ou ainda ressignificar conceitos já estudados. Esta pode ser vista
como um objeto a ser manipulado pelo aluno, a fim de explorá-lo e incorporá-lo como
parte de um conceito. O uso de gráficos, além de possibilitar este manuseio, pode
proporcionar apoio à resolução de problemas e à atribuição de significado a conceitos.
A visualização tem um poderoso papel complementar, onde se pode destacar
três aspectos: a visualização como apoio a resultados essencialmente
simbólicos; uma maneira possível para resolver conflitos entre soluções
simbólicas (corretas) e (incorretas) com intuições; como ajuda a reengajar e
recuperar os fundamentos conceituais que podem ser facilmente contornados
por soluções formais (ARCAVI, 2003, p. 222-223, tradução nossa).
O ensino e aprendizagem, segundo o referido autor, necessitam propiciar
formas para que se possa melhor ver os conceitos matemáticos, por meio da
exploração da visualização em sua totalidade, que além de contribuir na organização
dos dados é um importante fator na condução do desenvolvimento analítico da
solução. A visualização, portanto, pode ser considerada como parte integrante do
próprio processo analítico da solução.
Pesquisas sobre visualização na aprendizagem de matemática, segundo
Presmeg (2006), iniciaram-se lentamente, crescendo de uma base psicológica no final
da década de 1970 e início dos anos de 1980. Tais estudos estão relacionadas a
52
diversos ramos desta área e são multifacetadas, com raízes na matemática e
envolvendo aspectos históricos, filosóficos, psicológicos, pedagógicos e tecnológicos
importantes (ZIMMERMANN; CUNNINGHAM, 1991).
No entanto, tais pesquisas ainda vêm sendo desenvolvidas, tanto no âmbito da
educação básica, quanto no ensino superior, devido a sua importância neste
processo. Algumas dessas investigações apontam a visualização na área da
matemática como uma componente chave do raciocínio na resolução de problemas
e atividades, bem como para fins ilustrativos (ARCAVI, 2003). Além disso, de acordo
com Rösken e Rolka (2006), a visualização é considerada uma ferramenta poderosa
para explorar problemas matemáticos, dar significado para conceitos matemáticos e
estabelecer a relação entre eles.
O termo visualização, para Zimmerman e Cunningham (1991), é empregado
para descrever os processos de produção ou o uso de representações geométricas
ou gráficas de conceitos, princípios ou problemas matemáticos, seja desenhado à
mão ou gerado por computador. Ainda, Fainguelernt (1999) considera a visualização
como uma habilidade de perceber, transformar, descobrir, gerar, comunicar,
documentar e refletir sobre as informações visuais. Partindo dessa definição, Santos
(2009) destaca que o contato visual físico é necessário para que ocorra ou se promova
o contato mental de um indivíduo.
No contexto da educação matemática, fazer uso da visualização, além de
promover a intuição e o entendimento, possibilita uma abrangência maior dos
assuntos matemáticos, permitindo aos alunos não somente aprenderem matemática,
mas se tornarem capazes de fazer sua própria matemática (FLORES, 2012). A
visualização e a leitura de informações gráficas em Matemática são aspectos
importantes, pois auxiliam a compreensão de conceitos e o desenvolvimento de
capacidades de expressão gráfica (BRASIL, 1998).
Diante de diversas definições do termo visualização, tanto no âmbito da
matemática, quanto da educação matemática, pode-se perceber que estão focadas
na percepção e na manipulação de imagens visuais, e que a aprendizagem é
resultado da interpretação dada às sensações e estímulos do meio ambiente, às
ideias, imagens, expectativas e atitudes (FAINGUELERNT, 1999).
53
Em relação a trabalhos que utilizaram o processo de visualização para a
aprendizagem de conceitos de Cálculo, pode-se mencionar Junior (2015), cuja
experiência dissertada utilizou o software Geogebra para o ensino de conceitos
relacionados à derivada junto a um grupo de professores do ensino superior,
desenvolvendo atividades exploratórias de construção e interpretação de gráficos. Os
resultados obtidos apontam que a visualização proporcionada pelo software contribuiu
para uma ressignificação de diversos conceitos e propriedades de derivadas que são
requisitados na construção de gráficos de funções reais, além de destacar, como
fundamental nos processos de ensino e aprendizagem de Cálculo I, um equilíbrio
entre os processos visuais e os processos algébricos.
Conforme destacado por Alves e Reis (2010) e Jover (2013), além dos aspectos
mencionados, as tecnologias apresentam também potencialidades em seu uso, como
a colaboração e interação que auxiliam na construção do conhecimento de maneira
mais dinâmica.
Também Marin (2009), em sua pesquisa junto a um grupo de professores
universitários sobre o uso de TIC nas aulas de Cálculo, levantou como potencialidade
das tecnologias a possibilidade de realização de atividades antes impossíveis de
serem feitas somente com papel e lápis, o que acaba proporcionando a organização
de situações e atividades pedagógicas com maior potencial para aprendizagem, mas
ressalta que para isso é necessário um aumento no tempo de dedicação do professor.
Outro aspecto importante ressaltado pelo autor em relação ao uso de
tecnologia pelo professor está na necessidade de saída da zona de conforto
(PENTEADO, 2000), entendida como aquela em que tudo é feito rotineiramente, na
qual não ocorrem mudanças, tudo é controlado e previsível, para a entrada na zona
de risco (PENTEADO; SKOVSMOSE, 2008), em que podem ocorrer novos fatos, há
flexibilidade, incerteza e imprevisibilidade, que muitas vezes despertam o medo e a
insegurança em uma prática docente.
Gravina e Santarosa (1998) também ressaltam a importância dos cuidados com
a utilização de tecnologias em sala de aula, em especial para que as atividades não
sejam limitadas à repetição de exercícios. As autoras destacam que o software não
54
pode dificultar a realização de uma tarefa devido ao não conhecimento ou domínio de
suas ferramentas e comandos.
Desse modo, é preciso que o professor tenha cuidado e atenção na seleção de
um determinado software ou programa que deseja utilizar em suas aulas, pois há
necessidade de analisar e optar por aquele que, prioritariamente, seja compatível com
os objetivos traçados. Ainda, é importante que o professor também atente para o
contexto de sala de aula, considerando o público alvo, o seu domínio de tecnologias,
a acessibilidade aos meios e o contexto de aplicação.
Ademais, tendo conhecimento da realidade que circunda atualmente e da
relação entre a educação e as tecnologias, optou-se, para realização desta proposta,
por utilizar o software Desmos, que é semelhante a uma calculadora gráfica, em que
é possível construir pontos, gráficos de funções (com ou sem restrições de domínio),
cônicas e regiões do plano por meio de equações cartesianas, paramétricas ou
polares, além de calcular expressões numéricas, resolver equações de primeiro e
segundo graus com uma incógnita, derivadas e integrais de uma função. O software
pode ser acessado por meio do computador ou de dispositivos móveis, tem um
ambiente dinâmico - que proporciona a interação -, possui uma interface amigável,
além de ser gratuito e multi-idiomas.
O software Desmos foi selecionado por ser um programa de fácil acesso e
manuseio, gratuito, apresentar uma ótima saída gráfica e possibilitar o
compartilhamento das atividades e dos gráficos, possibilitando deste modo o
desenvolvimento de um trabalho mais dinâmico e com ótimo aproveitamento tanto
pelo professor quanto alunos.
2. 4 Mapeamento dos trabalhos sobre derivadas
Realizou-se a revisão teórico-bibliográfica, com o intuito de conhecer o que está
sendo produzido em relação ao tema derivadas, com base em um levantamento¹ de
artigos completos publicados no Portal de Periódico da CAPES, utilizando critérios
para a seleção dos trabalhos conforme apresentado no Quadro 1.
55
Quadro 1 - Critérios para seleção dos artigos
Período de Publicação 2011 a 2016
Tipos Recursos
Tipo de Recurso Artigos Completos
Tópicos Educação Matemática; Educação;
Matemática; Cálculo; Engenharia
Palavras-chave Teaching And Derivatives; Learning And
Derivative; Enseñanza And Derivada;
Aprendizaje And Derivada; Tecnología
And Derivada; Ensino And Derivada;
Aprendizagem And Derivada,
Tecnologias And Derivadas
Fonte: Elaborado pela autora
A partir dos dados apontados, foram encontrados 424 trabalhos. Porém, após
a leitura dos títulos e resumos, observou-se que, dos trabalhos encontrados, somente
21 contemplaram as características procuradas, as quais foram: o ensino e a
aprendizagem de derivadas, o uso de recursos e metodologias diferenciadas para o
ensino de derivadas.
O Quadro 2 a seguir sintetiza os artigos encontrados, oferecendo um panorama
em relação ao título, autor, ano de publicação e periódico. Para serem mencionados
posteriormente, os artigos foram designados por Ai, com i = 1,2,3...21.
Quadro 2 - Trabalhos analisados sobre o ensino de derivadas
Item Título (autores e ano) Periódico
1 An APOS analysis of natural science
students’ understanding of derivatives.
(MAHARAJ, 2013)
South African Journal
of Education
A
2
Análisis según el Modelo Cognitivo
APOS* del Aprendizaje Construido del
Concepto de la Derivada. (URQUIETA;
CARRILLO; ANDRADE, 2014)
Bolema
A
3
Evaluación de una estrategia didáctica para
la apropiación del concepto “derivada de una
función”. (TELLES; ROMERO, 2016)
Revista
Iberoamericana para
la Investigación y el
Desarrollo Educativo
- RIDE
56
A
4
Los Mapas Conceptuales: una Técnica
para el Análisis de la Noción de Derivada
en un Libro de Texto. (GORDILLO;
PINZÓN; MARTÍNEZ, 2016)
Formación
Universitaria
A
5
Una Propuesta para el Análisis de las
Prácticas Matemáticas de Futuros
Profesores sobre Derivadas. (PINO-FAN;
GODINO; FONT, 2015)
Bolema
A
6
Análise do desempenho dos alunos em
formação continuada sobre a interpretação
gráfica das derivadas de uma função. (
BISOGNIN; BISOGNIN, 2011)
Educação
Matemática em
Pesquisa
A
7
Una Introducción a la Derivada desde la
Variación y el Cambio: resultados de una
investigación con estudiantes de primer año
de la universidad. (VRANCKEN; ENGLER,
2014)
Bolema
A
8
Assessing conceptual understanding in
mathematics: Using Derivative Function to
Solve Connected Problems. (ORHUN, 2013)
Turkish Online
Journal of Distance
Education-TOJDE
A
9
Atividades Investigativas de Aplicações das
Derivadas Utilizando o GeoGebra.
(GONÇALVES; REIS, 2013)
Bolema
A
10
Analysis of errors in derivatives of
trigonometric functions. (SIYEPU, 2015)
International Journal
of STEM Education
A
11
Derivative, maxima and minima in a
graphical context. (RIVERA-FIGUEROA;
PONCE-CAMPUZANO, 2012)
International Journal
of Mathematical
A
12
Using Short Video Lectures to Enhance
Mathematics Learning – Experiences on
Differential and Integral Calculus Course for
Engineering Students. (KINNARI-
KORPELA, 2015)
Informatics in
Education
A
13
The Mathematical Work with the Derivative
of a Function: Teachers’ Practices with the
Bolema
57
Idea of “Generic”. (PANERO; ARZARELLO;
SABENA, 2016)
A
14
Introducing Derivative via the Calculus
Triangle. (WEBER, TALLMAN, BYERLEY,
THOMPSON, 2012)
Mathematics
Teacher
A
15
Discrete or continuous? – A model for a
technology-supported discrete approach to
calculus. (WEIGAND, 2015)
ZDM: Mathematics
Education
A
16
Algunos Indicadores del Desarrollo del
Esquema de Derivada de una Función.
(MATAMOROS; GARCÍA; LINARES, 2013)
Bolema
A
17
Faceta Epistémica Del Conocimiento
Didáctico-Matemático Sobre La Derivada.
(PINO-FAN; GODINO; MOLL, 2011)
Educação
Matemática em
Pesquisa
A
18
Graphical construction of a local perspective
on differentiation and integration. (HONG;
THOMAS, 2015)
Mathematics
Education Research
Journal
A
19
Is the derivative a function? If so, how do we
teach it? (PARK, 2015)
Educ Stud Math
A
20
Professional development through lesson
study: teaching the derivative using
GeoGebra.
(VERHOEF; COENDERS; PIETERS;
SMAALEN; TALL, 2014)
Professional
Development in
Education
A
21
Students’ evolving meaning about tangent
line with the mediation of a Dynamic
Geometry environment and na Instructional
Example Space. (BIZA, 2011)
Technology,
Knowledge and
Learning
Fonte: Elaborado pela autora
Por meio dos dados levantados, pode-se destacar os países em que estão
sendo realizadas pesquisas relacionadas ao ensino de derivadas e suas aplicações,
demonstrando a importância do tema, seja a nível nacional ou internacional. Dentre
os países com publicações encontradas na pesquisa estão: África do Sul (3), Chile
58
(1), México (3), Colômbia (1), Brasil (2), Argentina (1), Turquia (1), Finlândia (1), Grécia
(1), Itália (1), Alemanha (1), Espanha (2), Coreia (1), Estados Unidos (1) e Holanda
(1).
O número de artigos selecionados por ano de publicação pode ser visto no
Gráfico 12, que abarca o período dos últimos 5 anos, demonstrando que o número de
pesquisas cresceu até 2015, mas em 2016 ocorreu uma diminuição nas pesquisas,
mesmo este sendo um tema de grande relevância no mundo acadêmico.
Gráfico 12 - Número de Artigos/Ano
Fonte: Elaborado pela autora
Dando continuidade ao estudo, concentraram-se esforços em explorar os
textos dos artigos, procurando entender seus objetivos e destacar os referenciais
teóricos e os procedimentos utilizados no decorrer dos trabalhos. Isso com o intuito
de agrupá-los em categorias que pudessem contribuir na apresentação de um retrato
mais preciso a seu respeito, bem como identificar os estudos que mais se aproximam
dos interesses estabelecidos para o estudo cujo relato é o objeto do presente relatório,
ou seja, aqueles que discutem o ensino de derivadas com uso de tecnologias.
Para melhor compreender os estudos que atualmente estão sendo
desenvolvidos em relação à aprendizagem de derivadas, buscou-se elencar as
principais teorias que foram utilizadas de base para a realização de cada trabalho
(QUADRO 3).
0
1
2
3
4
5
6
7
2011 2012 2013 2014 2015 2016
P
ro
d
u
çã
o
/A
n
o
Período
Produção de Artigos
59
Quadro 3 - Teorias utilizadas nos artigos analisados
Artigos (ITEM) Principais Teorias
A1, A2, A10,
A16
Teoria APOS (DUBINSKY e MCDONALD ,2001)
A3 Processo de assimilação e acomodação (PIAGET, 1977)
A4 Mapas Conceituais (NOVAK, CAÑAS, 1988)
A5, A17 Enfoque ontosemiótico (EOS) do conhecimento e da
instrução matemática (GODINO; BATANERO; FONT,
2007)
A6 Imagem de conceito e definição de conceito (TALL e
VINNER,1981)
A7 Linguagem e Pensamento variacional (CANTORAL et al.,
2003)
A8 Conhecimentos conceituais (TURKER, 1981;
VINNER,1989; TALL, 1991)
A9 Investigações matemáticas (PONTE, BROCARDO e
OLIVEIRA, 2006)
Importância da visualização e do uso de software (COUY,
2008)
A13 Processo de genética, através do modelo do MWS
(KUZNIAK e RICHARD, 2014) e as ferramentas semióticas
descritas pelo pacote semiótico (ARZARELLO, 2006).
A14 Cálculos de THOMPSON (1994, 2008)
A15 Abordagem discreta (HANS-GEORG WEIGAND, 2016)
A18 Pensamento matemático avançado (FAMT) (STEWART e
THOMAS 2007; THOMAS e STEWART 2011): três
mundos da matemática (TWM; TALL 2004a, 2004b, 2008,
2013) e a Teoria APOS (DUBINSKY e MCDONALD 2001)
60
A19 Abordagem cognitiva (SFARD, 2008).
A20 Modelo Interligado de Crescimento Profissional (IMPG)
(CLARKE e HOLLINGSWORTH'S, 2002)
A21 Zona de desenvolvimento proximal (ZDP) (VYGOTSKY,
1978)
Fonte: Elaborado pela autora
Entre os trabalhos selecionados, o trabalho A11 constou da análise de livros
didáticos e o A12, do desenvolvimento e aplicação de vídeos curtos como auxílio para
as aulas de Cálculo, de modo que não apresentaram uma teoria base para o
desenvolvimento de seus estudos.
Em análise aos artigos, o exercício de tradução e leitura possibilitou a
identificação de dois tipos de pesquisas - as teóricas e as empíricas - e algumas
características comuns que permitiram o agrupamento dos artigos em categorias e
subcategorias. Nesse quesito, ressalta-se que os critérios para identificação e seleção
adotados neste trabalho podem ser diferenciados, uma vez que os critérios aqui
estabelecidos levaram em consideração o objetivo da pesquisa e podem ser
efetuados de outra maneira.
No Quadro 4 estão descritas as categorias e subcategorias elaboradas pela
autora.
Quadro 4 - Distribuição dos artigos em categorias e subcategorias
CATEGORIA SUBCATEGORIA/DESCRIÇÃO NÚMERO DE
ARTIGOS
B – Trabalhos de
Natureza
Empírica
𝐵1 – Trabalhos que analisam e
abordam a prática docente
3
𝐵2 – Trabalhos que utilizam teorias
cognitivistas para análise das
concepções apresentadas pelos
alunos no processo de
aprendizagem
9
61
𝐵3 – Trabalhos que utilizam
tecnologias como recurso
educacional
5
C – Trabalhos de
Natureza Teórica
Trabalhos que apresentam
abordagens diferenciadas para o
ensino de Derivadas
4
Total _______ 21
Fonte: Elaborado pela autora
No agrupamento efetuado, a primeira categoria - categoria B - é constituída por
trabalhos que apresentaram algum tipo de investigação empírica, ou seja, trabalhos
que apresentam alguma experiência de ensino realizada com alunos e /ou
professores. Essa categoria está subdividida em três subcategorias. Cabe destacar
que a pesquisa empírica provém de uma prática, de um experimento ou observação
para a coleta de dados, e serve para ancorar e comprovar, no plano da experiência, o
que foi apresentado conceitualmente ou, em outros casos, a observação e
experimentação empíricas fornecem dados para sistematizar uma teoria. Os trabalhos
desta categoria estão agrupados nas subcategorias ; e .
Inicialmente, na subcategoria designada , foram reunidos os trabalhos cujo
objetivo foi o de analisar e considerar as práticas docentes relacionadas ao ensino de
derivadas, podendo-se citar os trabalhos A4, A13 e A19. Em A4, a estratégia de ensino
utilizada foi a construção de mapas conceituais por professores, referente aos
seguintes conteúdos: limites, o conceito de derivada desde a noção de reta tangente
e da velocidade instantânea. Por meio desse trabalho realizou-se um comparativo
com mapas conceituais baseados em livro texto, neste caso o livro de Stewart (2008),
com a finalidade de ide